GéométrieNotion · Glossaire
Colatitude
La colatitude est l'angle complémentaire de la latitude géographique, mesuré depuis le pôle nord d'une sphère plutôt que depuis l'équateur. En coordonnées sphériques mathématiques, la colatitude est l'angle thêta compris entre 0 et pi, mesuré depuis l'axe polaire. Elle est donc égale à pi/2 moins la latitude. Cette convention est standard en physique et en mathématiques pour paramétrer la sphère, notamment dans les calculs d'intégrales sur des surfaces sphériques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier colatitude et latitude sans confondre leur origine.
- Calculer une colatitude en degrés et contrôler le résultat.
- Reconnaître la convention d'angle polaire utilisée en coordonnées sphériques.
En clair
Imaginez un globe et un point situé à 30° au nord de l'équateur. Sa latitude se lit en partant de l'équateur. La colatitude regarde le même point depuis une autre origine : le pôle Nord.
De l'équateur au pôle, il y a un angle droit de 90°. Le point placé à 30° de latitude nord se trouve donc à 60° du pôle Nord. Ces deux angles se complètent toujours pour former 90°.
Définition
La colatitude d'un point d'une sphère est l'angle mesuré depuis l'axe dirigé vers le pôle Nord jusqu'au rayon qui rejoint ce point. La latitude géographique est au contraire mesurée depuis le plan de l'équateur. Si la lettre grecque φ désigne la latitude et si la lettre grecque θ désigne la colatitude, leur relation en radians est : . En degrés, la même relation s'écrit .
Avec la convention géographique où les latitudes nord sont positives et les latitudes sud négatives, φ varie de −90° à 90°. La colatitude θ varie alors de 0° au pôle Nord à 180° au pôle Sud, et vaut 90° sur l'équateur.
Dans un système de coordonnées sphériques, θ sert fréquemment d'angle polaire pour paramétrer la sphère. Cette convention facilite notamment les intégrales sur une surface sphérique. Elle doit toutefois être annoncée, car certains ouvrages emploient θ pour un autre angle et choisissent une autre lettre pour la colatitude.
Un exemple, pas à pas
Un point A se trouve sur une sphère à 30° de latitude nord.
Données :
La latitude du point est φ = 30°.
L'équateur et l'axe du pôle Nord forment un angle de 90°.
La colatitude θ est mesurée depuis cet axe polaire.
Données :
La latitude du point est φ = 30°.
L'équateur et l'axe du pôle Nord forment un angle de 90°.
La colatitude θ est mesurée depuis cet axe polaire.
1. On repère l'origine de chaque angle : l'équateur pour φ, le pôle Nord pour θ.
2. On applique la relation en degrés : .
3. On remplace la latitude par sa valeur : .
4. Le contrôle consiste à additionner les deux angles : . Le résultat est bien un angle droit, donc la colatitude de A vaut 60°.
Une coupe de la sphère permet de suivre ces deux mesures jusqu'au même rayon : 30° depuis l'équateur et 60° depuis l'axe du pôle Nord.
En pratique
Sur un globe, une carte ou des données géographiques, on part généralement de la latitude. Pour le point A à 30° nord, on soustrait 30° à 90° afin d'obtenir la colatitude 60°.
Dans un calcul en coordonnées sphériques, on emploie la colatitude lorsque l'angle polaire est mesuré depuis l'axe nord. Si le document mesure plutôt l'angle depuis l'équateur, la latitude est la lecture directe à conserver.
Avant de paramétrer une sphère ou de préparer une intégrale de surface, on vérifie donc l'origine et l'intervalle de l'angle. Un intervalle allant de 0 à π depuis l'axe polaire signale la colatitude.
À ne pas confondre
Colatitude et latitude. Elles situent le même point, mais n'ont pas la même origine. La latitude part de l'équateur ; la colatitude part du pôle Nord. Pour A, les lectures sont respectivement 30° nord et 60°.
Colatitude et longitude. La colatitude mesure l'écart angulaire au pôle Nord, tandis que la longitude repère une direction autour de l'axe polaire. Deux points peuvent avoir la même colatitude de 60° tout en ayant des longitudes différentes.
Limites et pièges
Aux valeurs charnières. Le pôle Nord a pour colatitude 0°, l'équateur 90° et le pôle Sud 180°. Une valeur négative ou supérieure à 180° signale que la convention ou le calcul doit être vérifié.
Dans l'hémisphère Sud. La latitude géographique devient négative, mais la colatitude reste positive. Par exemple, soustraire une latitude négative à 90° produit bien une colatitude supérieure à 90°.
Entre degrés et radians. Les relations 90° − φ et π/2 − φ expriment la même complémentarité dans deux unités différentes. Il ne faut pas mêler 90 et π/2 dans un même calcul sans conversion.
Selon les conventions de notation. La lettre θ désigne souvent la colatitude, mais ce choix n'est pas universel. Il faut lire la définition des angles du système utilisé, puis repérer lequel part de l'axe polaire.
Pour aller plus loin
Les coordonnées sphériques montrent comment la colatitude s'associe à une distance au centre et à un second angle pour repérer un point dans l'espace.
La fiche latitude - géographie - approfondit l'angle complémentaire mesuré depuis l'équateur et son usage pour situer un point sur le globe.
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