Dupin Charles

En 1813, Charles Dupin publie Développements de géométrie. Cet ouvrage introduit notamment un moyen de regarder une surface au voisinage immédiat d’un point : l’indicatrice de Dupin.

Imaginez le plan qui touche la surface en ce point. Choisissez une direction dans ce plan : la courbure normale indique comment la surface se courbe quand on la suit dans cette direction. Si vous changez de direction, cette courbure peut changer. Selon le type de point, une ellipse, une hyperbole ou une parabole résume ces variations dans le plan tangent ; au point plan, le cas est dégénéré, selon la convention d’indicatrice retenue. Cette contribution relie le travail du mathématicien à celui de l’ingénieur, également tourné vers la mécanique, la marine et les ponts et chaussées.

Pierre Charles François Dupin, baron Dupin, est un mathématicien, ingénieur et homme politique français né en 1784 et mort en 1873. Son apport mathématique présenté ici appartient à la géométrie différentielle. En 1813, son ouvrage Développements de géométrie introduit de nombreuses innovations, dont l’indicatrice de Dupin.

L’indicatrice est un outil d’étude locale d’une surface : elle caractérise les courbures normales au point examiné selon les directions tangentes. Dans le plan tangent, elle prend la forme d’une ellipse en un point elliptique, d’une hyperbole en un point hyperbolique ou d’une parabole en un point parabolique ordinaire ; au point plan, elle est dégénérée, selon la convention d’indicatrice retenue. Sa forme rend compte des variations de courbure normale quand on change de direction. Le plan tangent est donc le support de l’indicatrice ; la surface demeure l’objet étudié.

Dupin publie aussi Géométrie appliquée aux arts en 1824 et des mémoires sur la marine ainsi que sur les ponts et chaussées. Au Conservatoire National des Arts et Métiers, il crée la première chaire d’enseignement de mécanique appliquée aux arts et y enseigne jusqu’en 1854. Ses voyages en Angleterre nourrissent son intérêt pour les applications de la statistique et pour les comparaisons économiques et industrielles entre la France et l’Angleterre. À partir de 1827, sa carrière politique se poursuit dans les rangs conservateurs.

Pour refaire une lecture géométrique simple, prenez une surface courbe et choisissez un point où elle est régulière.
1. Repérez le plan tangent, celui qui touche la surface en ce point.
2. Dans ce plan, choisissez une première direction et observez comment la surface se courbe lorsque vous la suivez.
3. Recommencez dans une autre direction : la courbure normale peut être différente.
4. Comparez ces courbures. L’indicatrice rassemble cette comparaison en une forme dans le plan tangent ; elle décrit ce point, pas toute la surface.

1. En 1813, Développements de géométrie place l’indicatrice de Dupin dans son œuvre mathématique.
2. En 1824, Géométrie appliquée aux arts marque un autre volet de ses publications.
3. À partir de 1827, sa carrière politique le conduit dans les rangs conservateurs.
4. Jusqu’en 1854, il enseigne au Conservatoire National des Arts et Métiers, où il a créé la première chaire de mécanique appliquée aux arts.

Le contrôle consiste à rattacher chaque date au bon fait. Les voyages en Angleterre, les comparaisons statistiques, les mémoires sur la marine et ceux sur les ponts et chaussées sont attestés, mais aucune année précise ne leur est associée ici.

Pour rencontrer Charles Dupin par les mathématiques, on part d’une surface et d’un point. Si la question porte sur la variation locale de la courbure normale selon les directions, l’indicatrice de Dupin est le bon outil ; une étude globale de la surface répondrait à une autre question.

Pour lire son parcours d’ingénieur et d’enseignant, on suit les domaines d’application : mécanique appliquée aux arts au Conservatoire, marine, puis ponts et chaussées. Si l’on cherche un résultat géométrique, il faut revenir à l’ouvrage de 1813 plutôt qu’au traité appliqué de 1824.

Pour étudier son intérêt pour la statistique, le critère est comparatif : ses voyages en Angleterre l’amènent à confronter les situations économiques et industrielles française et anglaise. Pour son parcours politique, le repère distinct est son engagement dans les rangs conservateurs à partir de 1827.

Charles Dupin et l’indicatrice de Dupin. Le premier est la personne ; la seconde est l’outil géométrique qu’il introduit dans son ouvrage de 1813. Une date biographique renvoie à Dupin, tandis qu’une ellipse, une hyperbole ou une parabole au point parabolique ordinaire renvoie à l’indicatrice ; au point plan, celle-ci est dégénérée selon la convention retenue. Ces formes sont construites dans un plan tangent.

L’indicatrice et la surface. L’indicatrice n’est pas le contour de la surface étudiée. Elle est inscrite dans le plan tangent en un point et traduit les variations de courbure normale selon les directions ; le lieu où cette courbure est étudiée tranche la distinction.

Une information locale, pas un portrait global. L’indicatrice caractérise les courbures normales en un point selon les directions tangentes. Le symptôme d’une extrapolation abusive serait d’en déduire à elle seule toute la forme de la surface ; il faut recommencer l’étude aux autres points.

Une courbure normale qui dépend de la direction. Réduire l’indicatrice à un unique nombre ferait disparaître l’information annoncée par sa forme. Il faut lire l’ellipse aux points elliptiques, l’hyperbole aux points hyperboliques, la parabole aux points paraboliques ordinaires ou la forme dégénérée aux points plans, selon la convention d’indicatrice retenue, comme un résumé des variations de courbure normale selon les directions du plan tangent.

Des dates attachées à des faits précis. L’année 1813 concerne Développements de géométrie, 1824 le traité de géométrie appliquée, 1827 le début du parcours politique conservateur et 1854 la fin de son enseignement au Conservatoire. Il ne faut pas transférer ces dates à ses voyages ou à ses mémoires.

Différentielle — Revenir à une notion de base de la géométrie différentielle dans laquelle s’inscrit l’indicatrice de Dupin.

Les surfaces à courbure moyenne constante — Prolonger l’étude locale vers une famille de surfaces définie par une condition de courbure.