ArithmétiqueNotion · Glossaire
Élément minimal
Dans un ensemble ordonné, un élément minimal est un élément tel qu'il n'existe aucun élément strictement plus petit. Contrairement à un minimum, un ensemble peut avoir plusieurs éléments minimaux dans un ordre partiel. Par exemple, dans l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 2 ordonnés par divisibilité, les nombres premiers sont tous des éléments minimaux. Tout ensemble fini non vide admet au moins un élément minimal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un élément minimal dans un ensemble partiellement ordonné.
- Distinguer un élément minimal d'un minimum et d'un minorant.
- Vérifier les éléments minimaux de {2, 3, 6, 12} pour la divisibilité.
- Comprendre pourquoi le choix de l'ensemble change les éléments minimaux.
En clair
Rangeons 2, 3, 6 et 12 selon la divisibilité : un nombre est placé sous ceux qu'il divise. Les nombres 2 et 3 n'ont alors aucun autre nombre de l'ensemble au-dessous d'eux. Ce sont les éléments minimaux.
Ils sont deux, car 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2. Être minimal signifie donc ne rien avoir de strictement plus petit que soi, sans devoir être plus petit que tous les autres éléments.
Définition
Considérons un ensemble E muni d'une relation d'ordre, notée ≤. Un élément x de E est minimal lorsqu'aucun élément y de E n'est strictement plus petit que x. De manière équivalente, tout élément y qui vérifie y ≤ x est nécessairement égal à x. Cette définition porte toujours sur l'ensemble ordonné choisi : changer l'ensemble peut changer ses éléments minimaux.
Dans un ordre partiel, deux éléments peuvent être incomparables. Plusieurs éléments minimaux peuvent donc coexister, comme 2 et 3 dans {2, 3, 6, 12} ordonné par divisibilité. Un minimum, au contraire, est inférieur ou égal à chaque élément de l'ensemble. S'il existe, il est unique et constitue l'unique élément minimal.
Tout ensemble ordonné fini et non vide possède au moins un élément minimal. Pour l'ensemble infini des entiers supérieurs ou égaux à 2, ordonné par divisibilité, les nombres premiers sont minimaux : aucun entier de cet ensemble autre que lui-même ne divise un nombre premier.
Un exemple, pas à pas
On considère l'ensemble E = {2, 3, 6, 12}. L'ordre retenu est la divisibilité : un nombre a est inférieur ou égal à un nombre b lorsque a divise b.
1. Pour 2, aucun autre élément de E ne divise 2. Le nombre 2 est donc minimal.
2. Pour 3, aucun autre élément de E ne divise 3. Le nombre 3 est donc minimal.
3. Le nombre 6 n'est pas minimal, puisque 2 et 3 le divisent strictement. Le nombre 12 ne l'est pas non plus, puisque 2, 3 et 6 le divisent strictement.
Les éléments minimaux de E sont exactement 2 et 3. Il n'existe pas de minimum : 2 ne divise pas 3, tandis que 3 ne divise pas 2. Le diagramme rend visibles ces deux branches incomparables.
Le contrôle consiste à examiner chaque élément : 2 et 3 n'ont aucun prédécesseur strict dans E, alors que 6 et 12 en ont au moins un.
En pratique
Dans un ensemble fini décrit par un diagramme d'ordre, on repère les éléments minimaux aux points qui n'ont aucun élément strictement au-dessous d'eux. Si un point est sous tous les autres, on a plutôt trouvé un minimum.
Pour un ensemble de nombres ordonné par divisibilité, on cherche les éléments qui n'ont aucun diviseur strict appartenant encore à l'ensemble. Le test dépend donc de l'ensemble retenu, pas seulement du nombre examiné.
Dans un problème de choix avec plusieurs critères, des solutions incomparables peuvent toutes être minimales. On garde alors l'ensemble de ces solutions au lieu de forcer un unique meilleur choix qui n'existe pas dans l'ordre considéré.
À ne pas confondre
Minimum. Un minimum est inférieur ou égal à tous les éléments, tandis qu'un élément minimal n'a simplement rien de strictement inférieur. Dans {2, 3, 6, 12} ordonné par divisibilité, 2 et 3 sont minimaux, mais aucun minimum n'existe.
Minorant. Un minorant d'une partie est inférieur ou égal à tous ses éléments et peut appartenir seulement à l'ensemble ambiant. Avec l'ordre usuel, 0 est un minorant des entiers strictement positifs, mais il n'est pas un élément minimal de cette partie puisqu'il n'y appartient pas.
Limites et pièges
La présence de 1 change l'exemple de divisibilité. Dans tous les entiers strictement positifs, 1 divise chaque entier : il est le minimum et le seul élément minimal. Les nombres premiers deviennent minimaux si l'on travaille dans les entiers supérieurs ou égaux à 2.
L'ensemble vide n'a aucun élément minimal. L'hypothèse « non vide » est donc indispensable dans l'énoncé concernant les ensembles finis.
Un ensemble infini peut n'avoir aucun élément minimal. Dans les entiers relatifs munis de l'ordre usuel, chaque entier possède un entier strictement plus petit. Il faut alors constater l'absence d'élément minimal plutôt que poursuivre une recherche sans fin.
Un dessin incomplet peut tromper. Une arête transitive est souvent omise dans un diagramme d'ordre. Pour décider si un élément est minimal, il faut vérifier l'ordre lui-même, et pas seulement les segments immédiatement visibles.
Pour aller plus loin
La fiche Ordre partiel précise pourquoi certains éléments ne sont pas comparables et comment cette structure autorise plusieurs éléments minimaux.
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