AnalyseNotion · Glossaire
Filtrant (ordre)
Un ensemble ordonné est dit filtrant (ou dirigé) si tout couple d'éléments admet un majorant dans l'ensemble. Plus précisément, pour tout x et y dans I, il existe z dans I tel que z ≥ x et z ≥ y. Les ensembles filtrants servent d'ensembles d'indices pour les nets (ou filtres directionnels) en topologie, qui généralisent les suites pour définir la convergence dans des espaces non métrisables. La notion de limite filtrante est fondamentale en topologie générale et en théorie des catégories.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le critère du majorant commun pour chaque paire d'indices.
- Vérifier ce critère sur les entiers strictement positifs ordonnés par divisibilité.
- Distinguer ensemble dirigé, ordre total, filtre et net.
- Relier les ensembles dirigés à la convergence en topologie et aux diagrammes filtrants en théorie des catégories.
En clair
Imaginez deux étapes possibles dans un parcours. L'ensemble est filtrant si l'on peut toujours trouver une étape ultérieure qui vient après les deux, même si celles-ci ne sont pas comparables entre elles.
Il ne faut donc ni une route unique ni une dernière étape. La propriété garantit seulement qu'à partir de deux positions, leurs exigences peuvent être réunies plus loin. C'est ce mécanisme qui autorise un ensemble dirigé à remplacer la suite ordinaire comme système d'indices.
Définition
Soit un ensemble noté I, muni d'une relation d'ordre notée ≤. Un élément z de I est un majorant commun de deux éléments x et y lorsque x ≤ z et y ≤ z. L'ordre est filtrant, ou dirigé vers le haut, lorsque chaque paire x, y possède au moins un tel majorant dans I.
Avec ces notations, le critère complet s'écrit :
Le majorant z n'est pas nécessairement unique, ni plus petit que tous les autres majorants. Les éléments x et y n'ont pas besoin d'être comparables. Selon les conventions, un ensemble dirigé est en outre supposé non vide et peut être muni d'un préordre plutôt que d'un ordre antisymétrique.
Un tel ensemble sert d'ensemble d'indices à un net : à chaque indice de I, on associe un terme. La direction donnée par l'ordre formalise l'idée d'aller assez loin pour satisfaire simultanément plusieurs contraintes, ce qui étend la notion de suite en topologie générale.
Un exemple, pas à pas
Données. Prenons l'ensemble I des entiers strictement positifs. On décide que l'entier a précède l'entier b lorsque a divise b. Choisissons x = 6 et y = 15. Il faut exhiber dans I un entier divisible à la fois par 6 et par 15.
1. Les multiples de 6 commencent par 6, 12, 18, 24, 30.
2. Les multiples de 15 commencent par 15, 30.
3. Le premier nombre commun aux deux listes est 30 : .
4. Le contrôle donne 30 ÷ 6 = 5 et 30 ÷ 15 = 2, deux entiers. Ainsi, 6 divise 30 et 15 divise 30.
2. Les multiples de 15 commencent par 15, 30.
3. Le premier nombre commun aux deux listes est 30 : .
4. Le contrôle donne 30 ÷ 6 = 5 et 30 ÷ 15 = 2, deux entiers. Ainsi, 6 divise 30 et 15 divise 30.
Le nombre 30 est donc un majorant commun de 6 et 15 pour l'ordre de divisibilité. Le nombre 60 en est un autre. La définition exige l'existence d'un majorant, pas le choix du plus petit ; ici, 30 est aussi le plus petit commun multiple. Le même raisonnement fonctionne pour toute paire d'entiers strictement positifs.
En pratique
En topologie, une suite suffit lorsque les entiers décrivent correctement le rapprochement étudié. Dans un espace où ce seul ordre d'indices ne capte pas toutes les convergences, on emploie un net indexé par un ensemble dirigé.
Pour organiser plusieurs contraintes simultanées, on peut ordonner des familles finies de contraintes par inclusion. Réunir deux familles donne alors un majorant commun : aucune des exigences déjà posées n'est perdue.
En théorie des catégories, la même idée conduit aux diagrammes filtrants et à leurs colimites. On choisit ce cadre catégorique lorsque les objets et leurs morphismes comptent ; un simple ensemble dirigé convient lorsque seuls les indices ordonnés sont nécessaires.
À ne pas confondre
Un ensemble dirigé et un filtre. Le premier est un ensemble d'indices muni d'un ordre ; le second est une famille de parties stable selon des règles d'inclusion et d'intersection. Les entiers strictement positifs ordonnés par divisibilité forment un ensemble dirigé, mais cette collection d'entiers n'est pas, à elle seule, un filtre.
Ordre filtrant et ordre total. Dans un ordre total, deux éléments sont toujours comparables. Dans un ordre filtrant, ils peuvent être incomparables dès lors qu'ils possèdent un majorant commun. Pour la divisibilité, 6 et 15 sont incomparables, mais 30 les majore tous les deux.
Le net et son ensemble d'indices. L'ensemble dirigé organise les positions ; le net associe une valeur à chacune d'elles. Deux nets différents peuvent donc utiliser le même ensemble d'indices sans avoir les mêmes termes ni la même limite.
Limites et pièges
Le vide dépend de la convention. La condition portant sur chaque paire est vraie par vacuité dans l'ensemble vide. Pourtant, la définition usuelle d'un ensemble dirigé exige qu'il soit non vide ; il faut donc vérifier la convention adoptée.
Un majorant commun n'est pas un maximum. Pour 6 et 15, les nombres 30, 60 et 90 conviennent, mais aucun n'est le plus grand élément de tous les entiers positifs. Il suffit de produire un majorant pour chaque paire.
Le plus petit majorant n'est pas requis. Dans l'exemple, 30 est le plus petit commun multiple, mais la propriété filtrante serait déjà vérifiée avec 60. Il ne faut pas ajouter l'existence d'un supremum à la définition.
Le sens de l'ordre compte. La définition donnée dirige vers les majorants. Si l'on inverse la relation, le critère porte sur des minorants communs et décrit la direction opposée ; il faut annoncer explicitement cette convention avant d'étudier une limite.
Pour aller plus loin
Filtre. Cette notion donne une autre formulation de la convergence et permet de distinguer clairement famille de parties et ensemble d'indices.
La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ? Cet article situe le langage dans lequel les catégories filtrantes et leurs colimites prolongent l'idée d'une direction commune.
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