AnalyseNotion · Glossaire
Equivalents (arc paramétrés)
Deux arcs paramétrés réguliers γ:I→Rⁿ et δ:J→Rⁿ sont équivalents s'il existe une bijection φ:J→I de classe C¹ dont l'inverse est aussi de classe C¹, telle que δ=γ∘φ. Lorsque φ est croissante, l'orientation est conservée ; lorsqu'elle est décroissante, elle est inversée. L'équivalence signifie que les deux paramétrages décrivent la même courbe géométrique, éventuellement à des vitesses différentes. Cette notion n'est pas celle des équivalents asymptotiques de fonctions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le changement de paramètre qui relie deux arcs.
- Déterminer si l'orientation est conservée ou inversée.
- Distinguer la vitesse de parcours de la courbe géométrique.
En clair
Imaginez un même chemin tracé avec deux horloges. La première décrit chaque point avec un paramètre t, la seconde avec un paramètre s. Si une conversion régulière permet de passer de s à t, les deux descriptions sont équivalentes : elles suivent le même chemin, mais pas forcément à la même vitesse. Une conversion qui avance dans le même sens conserve l'orientation. Une conversion qui remonte le chemin l'inverse.
Ainsi, deux formules différentes peuvent représenter exactement le même arc géométrique. Le mot « équivalents » désigne ici des paramétrages d'arcs, et non deux fonctions dont le rapport tend vers 1.
Définition
Soit γ:I→Rⁿ un arc paramétré régulier, où I est un intervalle de paramètres et Rⁿ l'espace euclidien dans lequel la courbe est tracée. Un second arc δ:J→Rⁿ est équivalent à γ lorsqu'il existe une bijection φ:J→I de classe C¹ dont l'inverse est aussi de classe C¹, telle que, pour tout s dans J, δ(s)=γ(φ(s)). L'application φ est le changement de paramètre : elle associe à chaque valeur s la valeur t qui désigne le même point.
La bijectivité garantit qu'un point correspondant n'est ni perdu ni choisi de deux façons dans le passage entre les paramètres. Lorsque φ est croissante, les valeurs du paramètre avancent dans le même sens et l'orientation de l'arc est conservée. Lorsque φ est décroissante, le parcours est effectué en sens inverse. Dans les deux cas, la vitesse de parcours peut changer, car le rythme de variation du paramètre n'est pas imposé.
La notion porte donc sur l'équivalence de paramétrages d'un même arc géométrique. Elle ne doit pas être confondue avec l'équivalence asymptotique de fonctions, qui compare un rapport près d'un point ou à l'infini.
Un exemple, pas à pas
Considérons deux descriptions du même arc de parabole. La première est γ:[0,2]→R², γ(t)=(t,t²). La seconde est δ:[0,1]→R², δ(s)=(2s,4s²). On propose le changement de paramètre φ(s)=2s, qui envoie [0,1] bijectivement sur [0,2].
Pour vérifier la relation, on remplace t par φ(s) dans γ :
On obtient bien δ(s)=γ(φ(s)).
On obtient bien δ(s)=γ(φ(s)).
Le changement φ est croissant, car s augmente comme 2s. L'orientation est donc conservée. Sa dérivée vaut 2, si bien que le second paramétrage parcourt l'arc deux fois plus vite à paramètre correspondant.
Le contrôle géométrique est immédiat : dans les deux descriptions, la première coordonnée vaut x et la seconde vaut x². Les deux arcs sont donc le même morceau de parabole, entre (0,0) et (2,4).
En pratique
En géométrie différentielle, on peut choisir le paramétrage qui rend un calcul plus lisible sans changer l'arc étudié. Le critère observable est l'existence d'une conversion régulière et bijective entre les paramètres.
Pour comparer deux tracés, on vérifie d'abord qu'ils produisent les mêmes points, puis que chaque paramètre est relié à l'autre par un changement admissible. Cette vérification distingue une vraie reparamétrisation d'une simple ressemblance visuelle.
Le choix d'un changement croissant ou décroissant dépend du besoin. Le premier conserve le sens de parcours ; le second permet de parcourir le même arc en sens inverse.
À ne pas confondre
Les arcs paramétrés équivalents ne sont pas des fonctions équivalentes au sens asymptotique. Pour deux fonctions, l'équivalence se teste par une limite de rapport, alors qu'ici elle se teste par une application φ qui relie les paramètres et vérifie δ=γ∘φ. Deux fonctions peuvent donc être asymptotiquement équivalentes tout en ayant des graphes différents ; cette équivalence ne signifie pas qu'elles sont deux paramétrages équivalents d'un même arc.
Il ne faut pas non plus confondre même image et paramétrages équivalents. Deux arcs peuvent parcourir un ensemble de points identique tout en répétant une portion ou en la parcourant avec une application qui n'est pas bijective. Dans ce cas, le critère du changement de paramètre tranche.
Limites et pièges
Une ressemblance de tracé ne suffit pas. Si le changement de paramètre n'est pas bijectif, il peut supprimer une partie de l'arc ou la parcourir plusieurs fois. Lorsque γ est injectif, la non-injectivité de φ peut faire correspondre plusieurs paramètres au même point, tandis que la non-surjectivité de φ peut laisser certains points de γ(I) sans paramètre correspondant. Il faut alors vérifier la bijectivité avant de conclure.
Le sens du parcours dépend du changement de paramètre. Un changement croissant conserve l'orientation, tandis qu'un changement décroissant l'inverse. Cette distinction ne modifie pas nécessairement l'ensemble des points, mais elle modifie l'ordre dans lequel ils sont parcourus.
La vitesse n'est pas une donnée géométrique conservée par l'équivalence. Dans l'exemple, φ(s)=2s multiplie le rythme de variation du paramètre par 2. Il faut donc éviter d'attribuer aux deux descriptions la même vitesse simplement parce qu'elles ont le même tracé.
Pour aller plus loin
Un prolongement naturel consiste à étudier quelles propriétés appartiennent à l'arc géométrique lui-même et lesquelles dépendent du paramétrage. La forme du tracé et son orientation relèvent de la comparaison précédente, tandis que la vitesse de parcours dépend du choix du paramètre. Cette séparation prépare l'étude des invariants géométriques et des changements de paramètre plus réguliers.
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