AnalyseThéorème · Glossaire
Gendarmes (théorème des)
Le théorème des gendarmes (ou théorème des carabiniers, ou théorème du sandwich) est un résultat fondamental sur les limites de fonctions ou de suites. Il affirme que si f(x) <= g(x) <= h(x) au voisinage d'un point a, et si f et h ont la même limite L en a, alors g admet aussi L pour limite en a. Ce théorème permet de déterminer la limite d'une fonction difficile à étudier directement en l'encadrant entre deux fonctions plus simples ayant la même limite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois hypothèses nécessaires avant d'appliquer le théorème.
- Calculer la limite de sin(x)/x à l'infini par un encadrement vérifiable.
- Reconnaître les cas où les bornes ne permettent pas de conclure.
- Distinguer le théorème des gendarmes du théorème de comparaison et du sandwich au jambon.
En clair
Imaginez une courbe mobile prise entre deux barrières qui se rapprochent toutes deux de la même hauteur. La courbe peut osciller autant qu’elle veut, mais elle manque peu à peu de place. Elle est donc forcée de rejoindre cette hauteur commune.
Le théorème des gendarmes transforme cette image en outil de calcul. Au lieu d’étudier directement une fonction compliquée, on l’encadre par deux fonctions plus simples dont on connaît la limite.
Définition
Le théorème des gendarmes est un résultat d’encadrement pour les limites de fonctions et de suites. Pour trois fonctions nommées f, g et h, on suppose que les valeurs de g restent comprises entre celles de f et de h au voisinage d’un point a. Si les deux fonctions qui encadrent tendent vers le même nombre L, la fonction encadrée tend elle aussi vers L.
L’encadrement n’a pas besoin d’être vrai partout : il suffit qu’il le soit assez près de a, éventuellement sans inclure a. La valeur des fonctions au point a n’intervient donc pas dans une limite en ce point. Le même raisonnement vaut lorsque la variable tend vers ou .
Pour trois suites, les inégalités doivent être vérifiées à partir d’un certain rang. Si la suite inférieure et la suite supérieure convergent vers la même limite, la suite placée entre elles converge vers cette limite. Le résultat est aussi appelé théorème des carabiniers ou théorème du sandwich.
Le principe
Soient trois fonctions f, g et h, et un point a. Si, au voisinage de a, , et si f et h ont la même limite L lorsque x tend vers a, alors :
Pour des suites, on remplace le voisinage de a par tous les rangs assez grands.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à une limite de fonction en un point, à l’infini, ou à une suite. Il faut vérifier trois éléments : un encadrement valable assez près du point étudié, ou à partir d’un certain rang ; l’existence de la limite de la borne inférieure ; l’existence de la limite de la borne supérieure. Ces deux limites doivent être identiques.
Si une borne tend vers 0 et l’autre vers 1, aucune valeur unique n’est imposée à la fonction intermédiaire. Par exemple, la fonction constante égale à 1/2 reste bien entre ces bornes, mais l’encadrement seul ne détermine pas sa limite. Il faut alors resserrer les bornes ou employer une autre méthode de calcul.
Un exemple, pas à pas
On cherche la limite de la fonction qui associe à tout nombre réel positif x le quotient sin(x)/x, lorsque x tend vers . Les données sont l’inégalité −1 ≤ sin(x) ≤ 1 et le fait que x est positif.
1. Comme x est positif, la division par x conserve l’ordre : .
2. La borne inférieure −1/x et la borne supérieure 1/x tendent toutes deux vers 0 lorsque x tend vers .
3. Le théorème des gendarmes impose donc le résultat : .
Le contrôle est refaisable avec x = 10 : le quotient est nécessairement compris entre −0,1 et 0,1. Les deux enveloppes se resserrent autour de 0 tout en emprisonnant les oscillations du quotient.
En pratique
Pour une fonction oscillante, on cherche d’abord une majoration de sa valeur absolue. Si cette majoration tend vers 0, l’encadrement entre son opposé et elle-même donne souvent immédiatement la limite.
Pour une suite définie par une expression difficile à simplifier, on construit deux suites plus faciles à calculer. Le théorème devient préférable à un calcul direct lorsque ces bornes convergent manifestement vers le même nombre.
Si les deux bornes n’ont pas la même limite, on tente un encadrement plus serré. Si aucun encadrement pertinent n’apparaît, une transformation algébrique ou un autre théorème sur les limites sera plus adapté.
À ne pas confondre
Le théorème de comparaison. Il exploite une inégalité pour transférer un comportement, par exemple une divergence vers . Le théorème des gendarmes exige deux bornes de même limite et fournit alors la limite précise de l’expression encadrée.
Le théorème du sandwich au jambon. Malgré un nom voisin, ce résultat de géométrie concerne le partage simultané de volumes. Une question de limite avec deux bornes relève du théorème des gendarmes ; un découpage géométrique en parts égales relève de l’autre théorème.
Limites et pièges
Des limites différentes ne suffisent pas. Si les bornes tendent vers 0 et 1, l’intervalle ne se réduit pas à un point. Il faut trouver des bornes plus serrées ou changer de méthode.
L’ordre doit tenir près de la limite. Quelques valeurs bien encadrées ne prouvent rien. Pour une suite, l’inégalité doit être vraie à partir d’un rang fixé ; pour une fonction, dans tout un voisinage suffisamment petit.
Diviser par une quantité négative inverse les inégalités. Dans l’exemple, la condition x > 0 justifie l’ordre −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x. Pour x < 0, recopier cet ordre serait une erreur.
La valeur au point étudié est sans effet. Une fonction peut être non définie en a, ou y prendre une autre valeur, tout en ayant une limite en a. Il faut examiner les valeurs voisines, pas seulement celle du point.
Pour aller plus loin
convergence d'une suite numérique — Pour replacer la version du théorème portant sur les suites dans le vocabulaire précis de la convergence.
Limite à gauche — Pour distinguer une limite bilatérale d’une limite prise d’un seul côté et adapter le voisinage considéré.
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