AnalyseNotion · Glossaire
Entonnoir
En analyse des suites, le théorème de l'entonnoir (ou théorème des gendarmes) affirme que si une suite (un) est encadrée entre deux suites (an) et (bn) qui convergent toutes deux vers la même limite L, alors (un) converge aussi vers L. Cette propriété est fondamentale pour calculer des limites en encadrant une suite dont la limite n'est pas directement accessible. Elle s'étend aux fonctions continues et aux suites à valeurs vectorielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux barrières et leur limite commune.
- Appliquer l'encadrement à sin(n)/n.
- Repérer les cas où l'encadrement ne suffit pas.
En clair
Imaginez un nombre qui avance entre deux barrières. Si la barrière du haut et celle du bas se rapprochent toutes deux du même nombre, le nombre prisonnier ne peut pas s'en échapper : il finit au même endroit. C'est l'idée de l'entonnoir.
En pratique, on encadre une suite difficile à étudier par deux suites plus simples. Lorsque les deux barrières ont la même limite, l'encadrement révèle la limite cachée. Le théorème porte aussi le nom de théorème des gendarmes.
Définition
Le théorème de l'entonnoir est une règle de comparaison pour les suites. Pour tout entier n assez grand, supposons que le terme un soit compris entre les termes an et bn, c'est-à-dire que . Si la suite (an) converge vers L et si la suite (bn) converge aussi vers L, alors (un) converge vers L. Le nombre L est la limite commune des deux barrières.
La condition d'encadrement doit être vérifiée à partir d'un certain rang, et non nécessairement pour les premiers termes. Les deux suites qui encadrent peuvent être égales à la suite étudiée sur certains rangs ; elles doivent surtout avoir la même limite. Si leurs limites sont différentes, l'encadrement ne suffit pas à déterminer celle de (un).
Le même principe s'étend aux fonctions continues, lorsque les encadrements sont valables au voisinage du point étudié, ainsi qu'aux suites à valeurs vectorielles. Dans tous les cas, la comparaison porte sur une notion d'ordre ou de distance adaptée au cadre considéré.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite définie par un = sin(n)/n pour les entiers n ≥ 1. Le sinus reste toujours compris entre −1 et 1, ce qui fournit deux barrières simples.
Données : borne inférieure −1 ; borne supérieure 1 ; dénominateur n positif ; limite visée 0.
1. Comme −1 ≤ sin(n) ≤ 1 et comme n est positif, la division par n conserve l'ordre.
2. On obtient .
3. Les suites −1/n et 1/n convergent toutes deux vers 0.
4. Le théorème de l'entonnoir donne donc .
2. On obtient .
3. Les suites −1/n et 1/n convergent toutes deux vers 0.
4. Le théorème de l'entonnoir donne donc .
Le contrôle est visible dès les premiers termes : pour n = 4, sin(4)/4 est environ −0,189, tandis que les bornes valent −0,25 et 0,25. Le terme est bien situé entre ses deux barrières ; l'encadrement se resserre ensuite autour de 0.
En pratique
Pour calculer une limite, on cherche d'abord une quantité difficile à traiter, puis deux expressions plus simples qui la bornent. On choisit cette méthode lorsque les deux bornes ont une limite commune et que cette limite est plus accessible.
Pour une expression contenant un sinus ou un cosinus, l'encadrement entre −1 et 1 est souvent le premier réflexe. Si un facteur tend vers zéro, la multiplication ou la division permet parfois de fabriquer deux barrières convergentes. Une comparaison directe est préférable lorsque la limite de l'expression se calcule déjà sans encadrement.
Pour une fonction, on vérifie que l'inégalité vaut dans un voisinage du point considéré, puis on étudie les limites des deux fonctions qui encadrent. La continuité permet alors de transférer le même mécanisme aux valeurs de la fonction.
À ne pas confondre
Le théorème de l'entonnoir ne se confond pas avec une simple majoration. Une seule borne, par exemple un ≤ bn, ne fixe pas la limite de (un) : la suite peut rester très en dessous de bn. Il faut un encadrement par deux suites dont les limites coïncident.
Il ne s'agit pas non plus d'une comparaison entre deux suites seulement. Dans le cas −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n, les deux barrières servent à conclure sur la troisième suite. Si les limites des barrières valent des nombres différents, aucune limite unique ne découle de cette règle.
Limites et pièges
Un encadrement valable seulement pour quelques valeurs de n ne permet pas de conclure. Le bon critère est une inégalité vraie pour tout n à partir d'un certain rang ; les premiers termes n'influencent pas la limite.
Si les deux barrières n'ont pas la même limite, l'entonnoir reste ouvert. Par exemple, l'encadrement 0 ≤ un ≤ 1 ne donne pas de limite, car les bornes ont respectivement pour limites 0 et 1. Il faut alors une information supplémentaire ou un encadrement plus serré.
La division par n dans l'exemple conducteur utilise n > 0. Diviser une inégalité par une quantité négative inverserait les signes ; diviser par zéro serait impossible. Pour n ≥ 1, cette difficulté est écartée et les bornes −1/n et 1/n tendent bien vers 0.
Dans un cadre vectoriel, il n'existe pas d'ordre total naturel comparable à celui des nombres réels. L'extension annoncée par la source doit donc être formulée avec la structure et la notion de convergence adaptées, plutôt qu'avec une inégalité réelle recopiée sans précaution.
Pour aller plus loin
La fiche Gendarmes (théorème des) présente le même résultat sous son autre nom. Elle permet de retrouver l'énoncé de référence et de comparer les formulations sans changer le mécanisme mathématique.
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