AnalyseThéorème · Glossaire
Stolz (theorème de)
Le théorème de Stolz-Cesàro aide à calculer la limite d’un rapport de suites en comparant ce qui change d’un rang au suivant. Sous ses hypothèses, si le quotient des accroissements de (an) et (bn) tend vers L, alors an/bn tend vers la même limite. Il joue ainsi, pour les suites, un rôle analogue à la règle de L’Hôpital.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Passer d’un rapport de suites au quotient de leurs accroissements.
- Vérifier la croissance stricte et non bornée du dénominateur.
- Calculer la limite de la somme des carrés divisée par n³.
- Repérer un dénominateur borné ou des accroissements oscillants.
En clair
Additionnons les carrés 1, 4, 9, 16, puis comparons leur total à 1, 8, 27, 64, les cubes correspondants. Le rapport des deux totaux est difficile à lire directement. En revanche, à chaque rang, le nouveau carré ajouté et l’augmentation du cube se calculent aussitôt.
Le théorème de Stolz-Cesàro dit que, sous des conditions précises, la tendance du rapport entre ces accroissements donne la tendance du rapport entre les suites entières. Il remplace donc une comparaison globale par une comparaison d’un rang au suivant.
Définition
Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat sur les rapports de suites réelles. Soit (an) une suite réelle, et soit (bn) une suite strictement croissante qui tend vers +∞. Les accroissements de b sont alors toujours strictement positifs, si bien que leur quotient avec ceux de a est défini.
Si le quotient des accroissements possède une limite L, finie ou égale à +∞ ou −∞, le quotient des termes possède la même limite :
La suite (an) n’a pas besoin d’être monotone. La croissance et l’absence de borne supérieure de (bn) sont en revanche essentielles dans cette formulation.
Lorsque bn = n, le dénominateur de l’accroissement vaut 1. Le théorème relie alors la limite de an+1 − an à celle de an/n. Cette forme explique son usage fréquent pour des sommes partielles et justifie l’analogie avec la règle de L’Hôpital, sans confondre suites et fonctions dérivables.
Le principe
Soient (an) une suite réelle et (bn) une suite réelle strictement croissante qui tend vers +∞. Si le quotient des accroissements converge vers une limite étendue L, alors :
Pour appliquer l’énoncé, on calcule donc les deux accroissements, on simplifie leur quotient, puis on en cherche la limite. La conclusion concerne le rapport initial, pas seulement ses variations.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui de deux suites réelles indexées par les entiers. Il faut vérifier que bn+1 > bn à partir du rang considéré et que bn tend vers +∞. Ces deux contrôles garantissent un dénominateur d’accroissement positif et une échelle qui grandit sans borne.
Il faut ensuite établir une véritable limite du quotient des accroissements. Cette limite peut être réelle, +∞ ou −∞. Si elle n’existe pas, le théorème ne donne aucune conclusion, même si le rapport an/bn converge par une autre méthode.
Par exemple, bn = 1 − 1/n est strictement croissante mais reste bornée. Avec an = bn + 1, le quotient des accroissements vaut toujours 1, tandis que an/bn tend vers 2. Il faut alors calculer directement la limite, car l’hypothèse de croissance non bornée manque.
Un exemple, pas à pas
On veut déterminer la limite de la somme des n premiers carrés divisée par n3. Posons an = 12 + 22 + … + n2 et bn = n3. La suite (bn) est strictement croissante et tend vers +∞. La figure compare le quotient des accroissements et le rapport initial pour les dix premiers rangs.
1. Le terme ajouté à la somme est (n + 1)2, donc an+1 − an = (n + 1)2. L’accroissement du cube vaut bn+1 − bn = 3n2 + 3n + 1.
2. On forme le quotient puis on divise numérateur et dénominateur par n2 :
3. Le théorème de Stolz-Cesàro donne alors :
À n = 10, le rapport initial vaut 385/1000 = 0,385 et le quotient des accroissements vaut 121/331 ≈ 0,366. Un contrôle indépendant utilise 12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 : après division par n3, les termes dominants donnent bien 2/6 = 1/3.
En pratique
Pour une somme partielle, l’accroissement de an est simplement le nouveau terme ajouté. Stolz-Cesàro est donc naturel lorsque la somme fermée est inconnue ou encombrante. Si une formule exacte de la somme est déjà disponible, sa simplification directe peut être plus courte.
Pour un quotient contenant des puissances, des logarithmes ou des factorielles, passer du rang n au rang n + 1 peut faire apparaître des simplifications invisibles dans an/bn. Le bon signal est un dénominateur croissant sans borne dont l’accroissement reste maniable.
Avant tout calcul, on contrôle les hypothèses. Si le dénominateur oscille, reste borné ou n’est pas finalement strictement croissant, on préfère une comparaison, un encadrement, une équivalence ou un calcul direct de limite.
À ne pas confondre
Avec la règle de L’Hôpital. L’Hôpital porte sur des fonctions dérivables et compare leurs dérivées près d’un point ou à l’infini. Stolz-Cesàro porte sur des suites et compare leurs différences entre deux rangs. Pour an = 12 + … + n2, aucune dérivée de an n’est requise.
Avec le résultat sur les moyennes de Cesàro. Celui-ci affirme que la moyenne des premiers termes d’une suite convergente possède la même limite. Stolz-Cesàro est plus général : le dénominateur peut être une suite strictement croissante non bornée autre que n. Quand bn = n, le résultat sur les moyennes s’en déduit en choisissant an comme somme partielle.
Limites et pièges
Dénominateur borné. Une suite bn peut être strictement croissante sans tendre vers +∞. Le contre-exemple bn = 1 − 1/n montre que le quotient des accroissements peut tendre vers 1 alors que le rapport initial tend vers 2. Il faut vérifier les deux propriétés séparément.
Accroissements oscillants. L’absence de limite du quotient des accroissements ne prouve pas que an/bn diverge. Avec an = n + (−1)n et bn = n, le rapport initial tend vers 1, mais an+1 − an alterne entre −1 et 3. Une autre méthode doit alors établir la limite.
Conclusion à sens unique. La convergence de an/bn n’entraîne pas celle du quotient des accroissements, comme le même exemple oscillant le montre. Stolz-Cesàro fournit une condition suffisante, pas une équivalence.
Limite infinie. Si le quotient des accroissements tend vers +∞ ou −∞ et que les hypothèses sur (bn) sont satisfaites, la conclusion garde ce même sens infini. Le signe ne doit pas être effacé sous l’étiquette vague « diverge ».
Pour aller plus loin
Le cas bn = n relie directement Stolz-Cesàro aux moyennes de suites. La fiche moyenne de Cesàro montre comment une moyenne conserve la limite des termes et éclaire ce cas particulier du théorème.
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