instrument d'Errard

Imaginez une rivière dont la rive opposée est impossible à atteindre. Depuis la rive proche, un instrument de visée permet de comparer une petite figure géométrique construite sur le sol avec la grande figure formée par la largeur recherchée. Les angles correspondants se répondent et les longueurs gardent le même rapport. Une distance inaccessible devient ainsi calculable à partir de mesures prises sans entrer dans l'eau.

L'instrument d'Errard est un appareil de géométrie pratique destiné à mesurer à distance la largeur d'une rivière. Il associe une visée et une construction géométrique réalisée depuis la rive accessible. La cible située sur l'autre rive, les points de référence et les lignes de visée forment des triangles dont les angles correspondants sont égaux. Ces triangles sont alors semblables : leurs côtés homologues sont proportionnels.

Dans une écriture générale, si une petite longueur a correspond à une grande longueur A, et si une autre petite longueur b correspond à la largeur recherchée B, la proportion s'écrit :

On connaît trois longueurs mesurées sur la rive ou dans la construction, puis on isole la quatrième. La méthode suppose que les alignements sont correctement réalisés et que les angles utilisés sont bien ceux qui rendent les triangles semblables. Elle ne mesure donc pas l'eau directement : elle déduit la distance cachée d'une figure observable.

On le rencontre dans le traité de Jean Errard sur les instruments mathématiques mécaniques, publié en 1584, ainsi que dans le contexte de la géométrie pratique et de l'arpentage. L'objet est reconnaissable à sa fonction de visée, à ses repères géométriques et au fait qu'il s'emploie depuis une rive accessible. Il porte une information précise : la largeur d'une rivière ou, plus généralement, une distance que l'on ne peut pas parcourir directement.

La grandeur recherchée est une longueur, exprimée dans la même unité que les longueurs de référence. La lecture suit une convention simple : les points observés et les points construits doivent rester dans le même ordre, et chaque côté doit être comparé à son homologue.

D'abord, l'opérateur choisit un point identifiable sur la rive opposée et établit les visées depuis la rive proche. Ensuite, il marque une figure accessible dont les angles reproduisent ceux de la figure formée avec la distance inconnue. Il mesure les côtés de cette figure et les longueurs de référence. Enfin, il applique la proportion entre côtés homologues. L'œil peut croire qu'une ligne de visée suffit ; le bon réflexe consiste à vérifier aussi les alignements et les angles qui garantissent la similitude.

Pour illustrer le principe, une construction de triangles semblables utilise les données suivantes : le côté de référence vaut a = 3 m, le côté correspondant vaut A = 12 m, et le côté accessible b vaut 5 m. La longueur B représente la largeur recherchée.

La similitude donne le rapport a/A = 3/12 = 1/4.
La longueur correspondante est donc B = b × 4 = 5 × 4 = 20 m.
Le résultat est une largeur de 20 m dans cet exemple géométrique.
Le contrôle distingue le rapport de forme B/A = 20/12 = 5/3 et b/a = 5/3 du facteur d'échelle entre les triangles : A/a = 12/3 = 4 et B/b = 20/5 = 4.

La figure associée rend visibles les deux triangles, leurs côtés correspondants et le facteur 4. Elle schématise le mécanisme mathématique ; elle ne prétend pas reproduire chaque détail matériel de l'appareil historique.

Dans un relevé de terrain, l'instrument sert à obtenir une distance sans franchir l'obstacle. L'opérateur prépare les repères sur la rive, règle les visées, puis relève les longueurs nécessaires à la proportion.

La méthode convient lorsque la cible est visible et que les points de référence peuvent être alignés. Si la visibilité est mauvaise ou si le sol ne permet pas une construction stable, une autre technique de mesure doit être choisie.

L'instrument d'Errard ne se confond pas avec une simple règle graduée. Une règle donne directement la longueur d'un segment accessible, tandis que l'instrument d'Errard déduit une distance inaccessible grâce à des visées et à une proportion. Le cas qui tranche est celui d'une largeur de rivière : une règle posée sur la rive ne suffit pas, alors que la construction de triangles peut fournir une estimation géométrique.

La similitude ne garantit pas un résultat si les angles ou les alignements sont mal reproduits. Le symptôme est une proportion qui change selon les côtés comparés. Il faut alors reprendre les visées et les repères avant de calculer.

Un autre piège apparaît lorsque la cible n'est pas visible depuis les points choisis. La triangulation indirecte devient alors impossible dans cette configuration ; il faut déplacer les points de visée ou employer une méthode adaptée à l'obstacle. Enfin, le résultat dépend de la précision des mesures : 20 m est ici une valeur exacte du modèle numérique, non la promesse d'une mesure de terrain exacte au mètre près.

La triangulation indirecte appartient à une famille de méthodes où une distance inconnue est obtenue par des angles, des alignements et des longueurs accessibles. Elle annonce les pratiques modernes de topographie, mais l'exemple présenté reste volontairement limité à la similitude de triangles et à la mesure d'une largeur.