graphomètre

Imaginez un point situé de l’autre côté d’un cours d’eau. On ne peut pas tendre un ruban jusqu’à lui, mais on peut le viser depuis deux endroits accessibles. Le graphomètre mesure l’angle entre ces directions de visée.

Son bord en demi-cercle porte une graduation en degrés. Une alidade reste fixe et l’autre pivote vers la cible. En associant l’angle lu à une longueur mesurée au sol, la géométrie des triangles donne la distance recherchée.

Le graphomètre est un instrument ancien de topographie et de géodésie destiné à mesurer des angles. Il comprend un demi-cercle dont le bord circulaire, appelé limbe, est gradué en degrés. Deux alidades servent à viser : l’une est fixe, l’autre mobile. Leurs pinnules sont des fentes que l’on aligne avec un point cible.

L’instrument fournit un angle, pas directement une longueur. Pour obtenir une distance inaccessible ou une hauteur dont la base ne peut pas être atteinte, on associe la mesure angulaire à une longueur accessible. Les triangles construits par les lignes de visée ont alors des angles connus. Le principe des triangles semblables permet d’en déduire une proportion entre leurs côtés. Cette propriété correspond à la proposition 4 du livre VI des Éléments d’Euclide.

Philippe Danfrie (1534–1606), imprimeur, graveur de caractères et de médailles, décrit le graphomètre pour la première fois en 1597. Dans la version dite à lunettes, les alidades à pinnules sont remplacées par des lunettes de visée optique. Cassini de Thury a utilisé cette version pour réaliser la carte topographique de France connue sous le nom de carte de Cassini.

On cherche la distance entre un point accessible A et une cible C inaccessible. Les données sont les suivantes :
— la base accessible AB mesure 20 m ;
— la direction AC est perpendiculaire à AB ;
— depuis B, le graphomètre donne un angle de 45° entre BA et BC.

1. Le triangle ABC possède un angle droit en A et un angle de 45° en B.
2. Son troisième angle vaut donc 45°.
3. ABC est semblable à tout triangle rectangle de référence dont les deux angles aigus valent 45°. Les deux côtés qui bordent l’angle droit sont donc dans le rapport 1. On obtient ainsi $AC=AB=20\mathrm{m}AC=AB=20\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$.

La distance inaccessible AC mesure donc 20 m. Le tracé géométrique rassemble la base mesurée, l’angle lu et la distance obtenue.

Le contrôle est refaisable sans nouvelle mesure : les angles du triangle sont 90°, 45° et 45°, soit 180°, et les deux côtés opposés aux angles égaux doivent être égaux.

En topographie, l’opérateur place l’instrument sur un point accessible, vise un premier repère avec l’alidade fixe, puis fait pivoter l’alidade mobile vers la cible. La graduation du limbe donne l’angle entre les deux directions.

Pour une distance inaccessible ou une hauteur dont la base ne peut pas être rejointe, on mesure d’abord une longueur accessible. Cette base et les angles de visée déterminent un triangle dont les proportions livrent la longueur cherchée.

La version à pinnules utilise des fentes de visée. Dans la version améliorée dite à lunettes, des lunettes de visée optique remplacent ces alidades ; Cassini de Thury a employé cette seconde forme pour la carte de Cassini.

Le graphomètre ne se confond pas avec une alidade. L’alidade est la règle de visée, fixe ou mobile ; le graphomètre est l’instrument complet, avec son demi-cercle gradué. Si l’objet observé sert seulement à aligner une direction sans fournir le limbe gradué du graphomètre, il s’agit d’une alidade, pas du graphomètre entier.

Un angle seul ne suffit pas à calculer une distance. Il faut aussi connaître au moins une longueur de référence, comme la base AB de 20 m dans l’exemple. Sans cette base, des triangles de tailles différentes pourraient correspondre aux mêmes angles.

Une configuration à 0° est dégénérée : les directions de la base et de la cible sont confondues, et le triangle s’aplatit. Il faut alors choisir un autre point de mesure afin de former un triangle non aplati.

La valeur calculée dépend des directions effectivement visées. Si les deux alidades ne sont pas alignées sur les repères voulus, l’angle lu décrit un autre triangle. Le contrôle consiste à reprendre chaque visée avant d’appliquer la proportion géométrique.

L’alidade précise le rôle de la règle de visée qui équipe le graphomètre.

Les triangles semblables expliquent pourquoi des angles égaux imposent des côtés proportionnels et rendent possible le calcul d’une distance.

La fiche consacrée à Euclide replace les Éléments et leur géométrie dans leur contexte mathématique.