GéométrieNotion · Glossaire
bâton de Gerbert d'Aurillac
Le bâton de Gerbert, ou bâton du Pape, est un instrument médiéval de mesure indirecte des hauteurs inaccessibles. Il consiste en un bâton portant une règle transversale coulissante ; en visant le sommet d'un objet et en ajustant la règle pour aligner les deux extrémités avec le point visé, on en déduit la hauteur par des calculs géométriques fondés sur la similitude des triangles. Attribué à Gerbert d'Aurillac, futur pape Sylvestre II, il illustre l'application pratique de la géométrie au Moyen Âge.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les parties du bâton et le rôle de la traverse coulissante.
- Relier les lignes de visée à deux triangles semblables.
- Calculer une hauteur estimée de 3 m à partir de trois mesures accessibles.
- Contrôler les unités, le parallélisme, les points visés et l'effet des erreurs de mesure.
En clair
Imaginez une hauteur dont le sommet et le pied sont visibles, mais qu'une règle ne peut pas atteindre. Devant l'œil, la petite traverse coulissante du bâton encadre exactement cette hauteur : une extrémité vise le pied, l'autre le sommet.
La petite figure formée près de l'œil et la grande figure formée par l'objet ont alors la même forme. Le rapport entre leurs longueurs donne la hauteur cherchée sans avoir à la parcourir verticalement.
Définition
Le bâton de Gerbert, aussi appelé bâton du Pape, est un instrument médiéval de mesure indirecte. Un bâton porte une règle transversale coulissante. L'observateur règle cette traverse afin que ses extrémités soient vues dans les mêmes directions que le pied et le sommet de la hauteur recherchée. L'attribution à Gerbert d'Aurillac, futur pape Sylvestre II, relie ainsi un objet de mesure à une application pratique de la géométrie au Moyen Âge.
Dans le modèle géométrique, la longueur de la traverse est notée h et sa distance à l'œil est notée d. La hauteur inaccessible est notée H et sa distance horizontale à l'œil est notée D. Si les deux segments h et H sont parallèles, si leurs extrémités sont sur les mêmes lignes de visée et si d n'est pas nul, les triangles sont semblables. On obtient alors .
La formule porte sur la hauteur comprise entre les deux points effectivement visés. Les quatre longueurs doivent être exprimées dans des unités compatibles. Puisque D, d et h proviennent de mesures, la valeur obtenue pour H reste une estimation dont la précision dépend du réglage, de l'alignement et des mesures de distance.
Un exemple, pas à pas
Une hauteur est observée à 12 m de l'œil. La traverse, placée à 1 m de l'œil, mesure 0,25 m entre les deux lignes de visée. Ses extrémités sont alignées avec le pied et le sommet de l'objet. Les données sont donc D = 12 m, d = 1 m et h = 0,25 m.
1. Les deux segments visés sont parallèles et leurs extrémités appartiennent aux mêmes lignes de visée. Les deux triangles sont donc semblables.
2. Écrivons le rapport des hauteurs et celui des distances : . Le schéma matérialise ces deux triangles emboîtés.
3. Isolons la hauteur cherchée : . La hauteur entre les deux points visés est donc estimée à 3 m.
4. Contrôlons le rapport : 3/0,25 = 12 et 12/1 = 12. Les deux rapports coïncident ; doubler D, à réglage inchangé, doublerait aussi la hauteur estimée.
En pratique
Pour une hauteur inaccessible dont le pied et le sommet sont visibles, placez le bâton de façon stable, réglez la traverse sur les deux lignes de visée, puis mesurez D, d et h dans des unités compatibles. Une mesure directe reste préférable lorsque toute la hauteur est accessible.
Si le pied est caché, le bâton ne fournit pas directement la hauteur totale : il mesure seulement l'écart entre les deux points réellement visés. Il faut choisir un autre emplacement où les deux extrémités sont visibles, plutôt que d'assimiler cet écart à la hauteur entière.
Pour juger la qualité du résultat, répétez le réglage sans changer de position. Des valeurs proches sont compatibles avec la précision de l'instrument ; des écarts marqués signalent un alignement instable ou une distance mal mesurée.
À ne pas confondre
Bâton de Gerbert et triangles semblables. Le bâton est l'instrument matériel ; la similitude des triangles est la relation géométrique qui justifie le calcul. Une traverse réglée sans alignement ne suffit pas, tandis que deux triangles convenablement alignés donnent le rapport même si le dessin change d'échelle.
Mesure indirecte et mesure directe. Une mesure directe compare la hauteur à un étalon placé le long d'elle. Le bâton mesure des longueurs accessibles et en déduit H par proportion. Si l'objet peut recevoir l'étalon sur toute sa hauteur, le calcul par visée n'est pas nécessaire.
Limites et pièges
Distance nulle ou mal repérée. La formule contient une division par d : si d = 0, le rapport n'est pas défini. La distance d doit partir de l'œil et rejoindre le plan de la traverse ; mesurer depuis une autre origine fausse le rapport.
Segments non parallèles. Si la traverse est inclinée par rapport à la hauteur visée, les deux triangles ne sont plus dans la configuration utilisée par la formule. Le symptôme est un réglage qui change quand l'instrument pivote ; il faut rétablir le parallélisme avant de calculer.
Point visé incomplet. Lorsque l'extrémité basse de la traverse vise un point situé au-dessus du pied, le résultat est la distance verticale entre ce point et le sommet, non la hauteur totale. Il faut viser le pied ou mesurer séparément la partie manquante.
Précision amplifiée. Dans l'exemple, le facteur D/d vaut 12 : une erreur de 1 cm sur h entraîne une variation de 12 cm sur H si les autres données restent inchangées. Il faut donc annoncer une estimation compatible avec la précision des mesures, et non une valeur artificiellement exacte.
Illustrations
Pour aller plus loin
triangles semblables — Approfondir la proportion qui relie la petite traverse à la hauteur inaccessible.
théorème de Thalès — Replacer l'égalité des rapports dans un énoncé géométrique général et vérifier ses conditions.
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