Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
intervalle de fluctuation
Un intervalle de fluctuation est déterminé avant l'observation, à partir d'un modèle probabiliste et d'un niveau de couverture, pour délimiter les valeurs qu'une statistique d'échantillon peut prendre avec la probabilité fixée si les hypothèses du modèle sont vraies. Une valeur observée hors de cet intervalle est peu compatible avec le modèle au risque choisi et invite à le remettre en question, sans prouver à elle seule qu'il est faux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'intervalle à un modèle probabiliste fixé avant l'observation.
- Reproduire un calcul exact au seuil de 95 % pour 100 essais binomiaux.
- Interpréter une fréquence située à l'intérieur ou à l'extérieur des bornes.
- Distinguer intervalle de fluctuation, intervalle de confiance et test statistique.
En clair
Une pièce supposée équilibrée ne donne pas forcément exactement 50 piles en 100 lancers. Le hasard fait varier le résultat autour de 50 : 47 ou 56 piles restent plausibles, tandis que 38 piles attirent davantage l'attention.
L'intervalle de fluctuation matérialise cette marge prévue par le modèle avant les lancers. Si le résultat observé en sort, il est rare sous l'hypothèse de départ. Cela invite à examiner cette hypothèse, sans prouver à soi seul qu'elle est fausse.
Définition
Un intervalle de fluctuation est construit à partir d'un modèle probabiliste et d'un niveau de couverture choisi, avant d'observer l'échantillon. Il porte sur une statistique aléatoire, par exemple un nombre ou une fréquence de succès. Ses bornes sont donc déterministes une fois le modèle, la taille de l'échantillon et la convention de construction fixés.
Pour n essais indépendants ayant chacun une probabilité de succès p, le nombre de succès X suit une loi binomiale. Au risque α, on peut choisir deux entiers a et b tels que :
L'intervalle [a ; b] concerne alors le nombre de succès ; l'intervalle [a/n ; b/n] concerne leur fréquence. Une construction centrale répartit généralement le risque entre les deux queues de la loi, mais d'autres conventions sont possibles.
Une observation située dans l'intervalle est compatible avec le modèle au niveau retenu ; elle ne le confirme pas définitivement. Une observation extérieure fournit un signal contre le modèle, dont la portée dépend du risque α et des hypothèses utilisées.
Un exemple, pas à pas
On étudie 100 lancers indépendants d'une pièce supposée équilibrée. Les données du modèle sont : n = 100 lancers, une probabilité théorique p = 0,50 d'obtenir pile et un risque maximal α = 0,05. La variable X désigne le nombre de piles.
1. Sous l'hypothèse d'équilibre, X suit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,50.
2. Le calcul des probabilités binomiales donne :
La couverture dépasse 0,95. Avec la convention centrale retenue, [40 ; 60] est donc un intervalle de fluctuation du nombre de piles au seuil de 95 %.
3. Pour la fréquence F = X / 100, les bornes deviennent 0,40 et 0,60. L'intervalle de fluctuation est [0,40 ; 0,60].
4. L'échantillon observé contient 38 piles, soit une fréquence de 0,38. Comme 0,38 est inférieur à 0,40, le résultat sort de l'intervalle. Il est peu compatible avec le modèle au niveau choisi, sans constituer une preuve certaine que la pièce est déséquilibrée. Le contrôle se refait en additionnant les probabilités de 40 à 60 ; leur complément vaut environ 0,0352.
En pratique
Contrôler une proportion annoncée. On part d'une valeur théorique et d'une taille d'échantillon, puis on regarde si la fréquence relevée fluctue dans la plage prévue. Si les observations sont dépendantes, un modèle tenant compte de cette dépendance doit remplacer le modèle binomial.
Décider si un écart mérite une enquête. Une valeur hors intervalle sert de signal pour réexaminer le modèle, le protocole ou la collecte. Lorsqu'une décision formelle est nécessaire, un test statistique précise aussi l'hypothèse alternative et la règle de décision.
Choisir entre calcul exact et approximation. Pour un petit effectif ou une probabilité proche de 0 ou de 1, les quantiles de la loi binomiale sont préférables. Une approximation n'est retenue que lorsque ses conditions sont vérifiées.
À ne pas confondre
Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance. Le premier part d'un paramètre supposé connu pour encadrer une statistique aléatoire. Le second part des données observées pour encadrer un paramètre inconnu. Dans l'exemple, [0,40 ; 0,60] est calculé sous l'hypothèse p = 0,50 ; un intervalle de confiance utiliserait les 38 piles pour estimer p.
Intervalle de fluctuation et test statistique. L'intervalle fournit une zone de compatibilité pour une statistique. Un test complet fixe en plus les hypothèses comparées, le risque et la décision ; sortir de [0,40 ; 0,60] peut alimenter ce test, mais n'en décrit pas toutes les composantes.
Limites et pièges
Sortir de l'intervalle n'est pas une impossibilité. Même si le modèle est correct, une réalisation peut tomber dehors. Dans l'exemple, la probabilité d'être hors de [40 ; 60] vaut environ 0,0352 : le signal est rare, pas impossible.
La couverture n'est pas toujours exactement 95 %. Une loi discrète ne permet pas nécessairement d'atteindre exactement le niveau visé. Ici, [40 ; 60] couvre environ 96,48 %, tandis que [41 ; 59] ne couvre qu'environ 94,31 %. La convention de choix des bornes doit donc être annoncée.
Les hypothèses commandent les bornes. Une taille différente, une probabilité théorique différente ou des essais dépendants changent la loi de la statistique. Réutiliser mécaniquement [0,40 ; 0,60] dans un autre contexte invaliderait la comparaison.
Une approximation peut déborder du domaine possible. Pour une fréquence, toute borne doit finalement rester entre 0 et 1. Près de ces extrêmes ou avec peu d'essais, il faut revenir aux probabilités exactes du modèle ou employer une méthode adaptée.
Pour aller plus loin
Loi binomiale. Calculer la distribution exacte du nombre de succès qui détermine les bornes de l'intervalle.
Quantile. Voir comment un niveau de probabilité se traduit en borne dans une distribution.
Intervalle de confiance. Étudier la démarche inverse, où l'échantillon sert à encadrer un paramètre inconnu.
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