Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
théorème de Bernoulli - probabilités -
Le théorème de Bernoulli affirme que, lorsqu’une même expérience de Bernoulli est répétée indépendamment avec une probabilité de succès p constante, la fréquence des succès converge en probabilité vers p : pour toute précision ε > 0 et tout risque 0 < α < 1, elle est à moins de ε de p avec une probabilité au moins égale à 1 − α dès que le nombre d’essais est assez grand. Il justifie ainsi l’estimation de p par la fréquence empirique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses d’indépendance et de probabilité constante.
- Lire l’énoncé avec une précision et un risque fixés.
- Vérifier sur 2 000 essais une fréquence et une garantie probabiliste.
- Distinguer ce théorème de la loi binomiale et du principe des fluides.
En clair
Une pièce tombe parfois sur pile, parfois sur face. Après quelques lancers, la proportion de piles peut beaucoup varier. Quand on répète le même lancer un très grand nombre de fois, cette fréquence tend cependant à rester près de la probabilité d’obtenir pile.
Le théorème de Bernoulli transforme cette stabilisation en affirmation probabiliste : en augmentant le nombre d’essais indépendants, on peut rendre très probable une erreur inférieure à la précision choisie. Il ne promet pas une égalité parfaite ni une évolution régulière à chaque lancer.
Définition
Le théorème de Bernoulli est la forme élémentaire de la loi faible des grands nombres pour une suite d’essais de Bernoulli. Chaque essai a deux issues selon que l’événement étudié se produit ou non. Les essais sont indépendants et la probabilité de l’événement reste constante. Cette probabilité est notée p.
Après n essais, le nombre de réalisations de l’événement est noté Xn et suit une loi binomiale. La fréquence empirique est Fn = Xn/n. Pour toute précision positive ε et tout risque positif α, aussi petits qu’on le souhaite, il existe un rang à partir duquel . Autrement dit, Fn converge en probabilité vers p lorsque n augmente.
La fréquence observée fournit ainsi un estimateur de p lorsque cette probabilité est inconnue. Dans le modèle historique de l’urne de Bernoulli, les tirages sont ramenés à des cas équiprobables. La formulation moderne du théorème exige surtout l’indépendance et une même probabilité p à chaque essai ; elle n’impose pas que les deux issues aient chacune la probabilité 1/2.
Le principe
Si un événement de probabilité constante p est observé au cours de n essais indépendants, alors sa fréquence Fn se rapproche de p en probabilité lorsque n tend vers l’infini. Pour toute précision ε strictement positive, l’énoncé s’écrit :
De façon équivalente, une précision ε et un risque α étant fixés, un nombre d’essais assez grand garantit une probabilité au moins égale à 1 − α que l’écart soit inférieur à ε.
Quand l'utiliser
Le cadre est une répétition d’essais à deux issues : l’événement étudié se réalise ou non. Les essais doivent être indépendants, et la probabilité p de l’événement doit rester la même à chaque répétition. Il faut aussi fixer une précision ε > 0 et un risque 0 < α < 1 avant de demander un nombre d’essais suffisant.
Si une pièce s’use et que sa probabilité de tomber sur pile change au fil des lancers, la fréquence ne vise plus nécessairement une unique valeur p. De même, des tirages sans remise dans une petite urne ne sont pas indépendants. Il faut alors employer un modèle tenant compte des probabilités variables ou de la dépendance, au lieu d’appliquer directement le schéma binomial.
Un exemple, pas à pas
Une machine lance une pièce dont la probabilité connue d’obtenir pile vaut p = 0,60. Les lancers sont indépendants. On effectue n = 2 000 lancers, avec une précision ε = 0,05. Les nombres cumulés de piles observés sont 13 après 20 lancers, 57 après 100, 304 après 500 et 1 216 après 2 000.
1. La fréquence finale vaut F = 1 216/2 000 = 0,608.
2. Son écart à la probabilité théorique vaut |0,608 − 0,60| = 0,008. Cet écart est inférieur à 0,05.
3. La variance de la fréquence vaut p(1 − p)/n = 0,60 × 0,40/2 000 = 0,000 12.
4. L’inégalité de Bienaymé–Tchebychev donne la garantie suivante : .
Le résultat observé, 60,8 % de piles, respecte donc la marge annoncée. Le contrôle se refait en vérifiant que 0,608 appartient à l’intervalle ]0,55 ; 0,65[. La figure retrace les quatre fréquences cumulées et montre leurs fluctuations autour de 0,60.
En pratique
Pour estimer une probabilité inconnue, on répète le même protocole et on prend la fréquence observée comme estimation. On augmente le nombre d’essais lorsque la précision visée doit être meilleure ; une estimation ponctuelle seule ne mesure toutefois pas son incertitude.
Pour contrôler une simulation, on compare la fréquence cumulée à la probabilité programmée. Des écarts persistants peuvent signaler trop peu d’essais ou un générateur mal paramétré. Un intervalle de confiance est préférable lorsqu’il faut quantifier précisément l’incertitude à taille d’échantillon fixée.
Pour interpréter un sondage binaire, la proportion mesurée joue le rôle de fréquence. Le théorème éclaire sa stabilisation, mais un modèle d’échantillonnage est requis si les réponses sont dépendantes ou si la population n’est pas échantillonnée de façon représentative.
À ne pas confondre
L’inégalité de Bernoulli. Elle compare des puissances, notamment (1 + x)n et 1 + nx, sous des conditions sur x et n. Si le problème porte sur une fréquence issue d’essais répétés, c’est le théorème probabiliste qui intervient.
Le principe de Bernoulli en mécanique des fluides. Il relie pression, vitesse et altitude dans un écoulement soumis à des hypothèses physiques. Une question sur une pièce lancée ou une proportion observée ne relève pas de ce principe.
La loi binomiale. Elle donne la distribution exacte du nombre de succès pour un nombre d’essais fixé. Le théorème de Bernoulli décrit, lui, le rapprochement probabiliste de la fréquence vers p quand le nombre d’essais augmente.
Limites et pièges
Grand nombre ne signifie pas certitude. Avec 2 000 essais, la borne calculée garantit ici au moins 95,2 % de probabilité d’un écart strictement inférieur à 0,05, et non 100 %. Une réalisation exceptionnelle reste possible.
La convergence ne décrit pas chaque étape. La fréquence peut s’éloigner temporairement de p après de nouveaux essais. Il faut examiner la probabilité de l’écart à une taille donnée, et non exiger une trajectoire qui se rapproche sans cesse.
Une fréquence proche ne prouve pas le modèle. Obtenir 60,8 % de piles est compatible avec p = 0,60, mais ne démontre ni l’indépendance des lancers ni la constance de p. Ces hypothèses se contrôlent séparément.
Les cas p = 0 et p = 1 sont dégénérés. La fréquence vaut alors exactement p à chaque taille, sous les hypothèses du modèle. Il n’y a plus de fluctuation aléatoire à encadrer.
Pour aller plus loin
Loi binomiale — Elle donne la distribution exacte du nombre de succès dont la fréquence intervient dans le théorème de Bernoulli.
La loi faible des grands nombres étend cette idée de stabilisation à des moyennes de variables aléatoires. Les théorèmes de limite centrale vont plus loin en décrivant, sous leurs propres hypothèses, la forme asymptotique des fluctuations autour de la moyenne.
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