jeu de Franc-Carreau

Imaginez une pièce lancée sur un sol quadrillé. Elle gagne si elle tombe tout entière dans un carreau, sans mordre sur les lignes. Plus la pièce est petite par rapport au carreau, plus son centre dispose de place pour se poser. Cette place forme un carré plus petit, au cœur du carreau.

Le hasard du lancer devient alors une question d'aires : on compare la zone où le centre de la pièce peut gagner à l'aire totale du carreau.

Le jeu de Franc-Carreau est une expérience de probabilité géométrique. Une pièce circulaire est lancée sur un carrelage de carreaux carrés réguliers. Elle est « franc-carreau » lorsqu'elle reste entièrement à l'intérieur d'un carreau ; si elle touche ou franchit un côté, sa position est dite « traversante ».

On note c la longueur du côté d'un carreau et d le diamètre de la pièce, dans la même unité. Lorsque 0 ≤ d ≤ c, le centre de la pièce doit rester à une distance strictement supérieure à d/2 de chacun des quatre côtés. Ses positions gagnantes forment donc l'intérieur d'un carré de côté c − d. Si le centre est réparti uniformément sur le carreau, la probabilité cherchée est le rapport entre l'aire de ce carré intérieur et l'aire du carreau :

Si d > c, la pièce ne peut pas tenir dans un carreau et cette probabilité vaut 0. La formule suppose un carrelage idéal, une pièce circulaire et une répartition uniforme de son centre.

Prenons des carreaux carrés de côté c = 4 cm et une pièce de diamètre d = 2 cm, donc de rayon 1 cm. On suppose que le centre de la pièce se répartit uniformément sur un carreau. La construction géométrique délimite toutes les positions gagnantes du centre.

1. Le centre doit rester à plus de 1 cm de chaque bord. L'intérieur du carré des positions gagnantes a donc pour côté 4 − 2 = 2 cm.

2. Son aire vaut 2 × 2 = 4 cm². L'aire du carreau entier vaut 4 × 4 = 16 cm².

3. Le rapport des aires donne 4/16 = 1/4. La probabilité d'obtenir un franc-carreau est donc 1/4, soit 25 %.

Le contrôle se refait avec la formule : (1 − 2/4)² = (1/2)² = 1/4. Sur un grand nombre de lancers conformes au modèle, la fréquence observée devrait se rapprocher de 25 %, sans être nécessairement égale à 25 %.

En classe, on trace un quadrillage régulier, on lance une pièce et on compte séparément les francs-carreaux et les positions traversantes. Quand les lancers sont assez nombreux, la fréquence fournit une estimation expérimentale de la probabilité.

Une simulation informatique remplace les lancers lorsque l'on veut répéter rapidement l'expérience. Elle tire au hasard les coordonnées du centre dans un carreau, puis vérifie si ce centre reste à plus d'un rayon de chaque bord.

Le calcul par les aires est préférable dès que les dimensions sont connues et que l'hypothèse d'uniformité est raisonnable. L'expérience ou la simulation sert alors de contrôle et montre les fluctuations dues à un nombre fini d'essais.

La probabilité géométrique du Franc-Carreau n'est pas la loi géométrique. Ici, on mesure une zone de positions continues ; dans une loi géométrique, on compte un nombre entier d'essais jusqu'au premier succès. Une position du centre tranche immédiatement entre les deux cadres.

Le Franc-Carreau n'est pas non plus l'aiguille de Buffon. Une pièce doit éviter les quatre côtés d'un carreau, tandis qu'une aiguille jetée sur des lames parallèles est étudiée selon qu'elle coupe ou non une ligne. Les objets, les frontières et le calcul diffèrent.

Si d = c, la seule position centrée ferait toucher la pièce aux quatre côtés et ne serait donc pas franc-carreau. Même si le contact était admis, cette position isolée aurait une aire nulle : sa probabilité resterait 0 dans le modèle continu.

Si d > c, la pièce dépasse toujours d'au moins un côté. Il ne faut pas prolonger la formule au carré, qui donnerait à tort une valeur positive ; on conclut directement que la probabilité vaut 0.

Le rapport d'aires suppose que le centre est uniformément réparti. Un geste qui favorise le milieu ou les bords change la probabilité. Il faut alors décrire cette répartition ou s'appuyer sur des lancers représentatifs.

Un vrai carrelage comporte des joints épais, et une pièce peut rebondir ou rester inclinée. Avant l'expérience, il faut fixer la frontière retenue et la règle de classement des contacts ; le modèle idéal assimile les côtés à des lignes sans épaisseur.

L'aiguille de Buffon prolonge l'étude des probabilités géométriques : elle relie la longueur d'une aiguille, l'espacement de lignes parallèles et la fréquence des intersections.