matrice de commande

Imaginez une grille contenant quatre nombres. Dans un service commercial, chaque ligne peut correspondre à un acheteur et chaque colonne à un produit. Le nombre placé à leur croisement donne la quantité commandée.

La même organisation en lignes et colonnes sert aussi en automatique. La matrice, alors souvent appelée B, indique quelle entrée agit sur quelle composante de l'état d'un système, et avec quelle intensité. Le contexte donne donc son sens aux nombres.

En économie et en gestion, une matrice de commande est un tableau numérique à double entrée. Les lignes indexent les acheteurs et les colonnes les produits proposés. Le coefficient situé sur une ligne et une colonne enregistre la quantité ou le montant commandé par cet acheteur pour ce produit. Pour interpréter la matrice, il faut donc connaître l'ordre des acheteurs, l'ordre des produits et la nature des valeurs, notamment quantité ou montant.

En automatique linéaire, le vecteur d'état est noté x, le vecteur des entrées de commande est noté u, la matrice d'évolution propre du système est notée A et la matrice de commande est souvent notée B. Le modèle d'état s'écrit :

La dérivée du vecteur d'état, notée ẋ, reçoit ainsi deux contributions. Le produit A·x décrit l'évolution liée à l'état, tandis que B·u décrit l'effet instantané des entrées. Le nombre de lignes de B correspond au nombre de composantes de l'état et son nombre de colonnes au nombre d'entrées. Les deux emplois du terme partagent une structure matricielle, mais les lignes, les colonnes et les coefficients n'y représentent pas les mêmes objets.

Une matrice de commande comporte quatre éléments à identifier : les objets associés aux lignes, ceux associés aux colonnes, les coefficients placés aux croisements et la convention qui fixe leur unité. En gestion, une ligne dépend d'un acheteur, une colonne d'un produit et leur coefficient dépend des deux. Sans les libellés et l'unité, une valeur comme 3 ne dit pas si elle représente trois articles ou un montant.

Dans le modèle d'état, les lignes de B sont reliées aux composantes de la dérivée de l'état ẋ, ou aux équations d'état, et les colonnes aux composantes de u. Chaque coefficient relie donc une entrée à une composante de la variation d'état. L'ordre choisi pour x et u détermine la place de tous les coefficients. Ces données suffisent à calculer le produit B·u, mais ni la couleur, ni le tracé, ni le nom des lignes ne modifient l'objet mathématique une fois les ordres fixés.

Considérons quatre coefficients organisés en deux lignes et deux colonnes. Dans la lecture commerciale, les lignes représentent Alice puis Bilal, et les colonnes les produits P₁ puis P₂. Les commandes sont respectivement 2 et 1 unités pour Alice, puis 1 et 3 unités pour Bilal. Le tableau numérique est :

Étape 1. La première colonne totalise 2 + 1 = 3 unités de P₁.
Étape 2. La seconde colonne totalise 1 + 3 = 4 unités de P₂.
Étape 3. Le contrôle consiste à relire chaque case avant d'additionner : les totaux portent sur les produits, donc sur les colonnes.

Pour isoler l'autre sens du terme, prenons la même disposition numérique comme matrice B d'un système à deux composantes d'état et deux entrées. Le vecteur de commande u possède alors les composantes 1 et 2. Le produit donnant la contribution des entrées vaut :

Étape 4. La première composante est 2 × 1 + 1 × 2 = 4 ; la seconde est 1 × 1 + 3 × 2 = 7. Refaire ces deux produits ligne par ligne fournit le contrôle. Les mêmes quatre nombres produisent ainsi une lecture différente selon le contexte.

Pour préparer des stocks, le tableau acheteurs‑produits regroupe les commandes par produit : on additionne les coefficients d'une même colonne. Une liste détaillée des transactions reste préférable lorsque l'ordre chronologique de chaque achat doit être conservé.

Pour connaître la commande d'un acheteur, on lit sa ligne. Si les valeurs sont des montants plutôt que des quantités, le total obtenu est financier et ne peut pas servir directement à compter les articles.

Dans un modèle d'état, on multiplie B par le vecteur d'entrée u pour isoler l'effet des commandes sur la variation de l'état. On utilise A·x à la place lorsque l'on cherche la contribution propre de l'état, sans l'effet des entrées.

Matrice de commande B et matrice d'état A. Dans l'équation d'état, B multiplie le vecteur des entrées u, tandis que A multiplie le vecteur d'état x. Si un coefficient décrit l'effet d'une entrée extérieure, il appartient à B ; s'il décrit l'évolution liée à l'état courant, il appartient à A.

Matrice de commande et commande individuelle. En gestion, la matrice agrège des valeurs par couple acheteur‑produit. Une commande individuelle est un enregistrement particulier. Si deux achats successifs du même produit doivent rester distincts, une simple case agrégée ne conserve pas cette distinction.

Une matrice B n'est pas nécessairement carrée. Avec deux composantes d'état et une seule entrée, elle possède deux lignes et une colonne, et se multiplie bien par un vecteur u à une composante. Le produit est impossible seulement si le nombre de colonnes de B diffère du nombre de composantes de u ; il faut vérifier les dimensions avant le calcul.

Une colonne nulle de B traduit une entrée sans effet dans le modèle. Multiplier cette colonne par une commande, même non nulle, n'ajoute rien à ẋ. Il faut alors relire la modélisation au lieu de conclure que toute commande agit forcément sur l'état.

L'ordre des lignes et des colonnes est une convention indispensable. Permuter les produits, les acheteurs, les composantes d'état ou les entrées sans permuter les coefficients change leur interprétation. Il faut conserver les libellés avec la matrice.

Quantités et montants ne s'additionnent pas dans un même total. Dans la lecture économique, une colonne exprimée en unités et une autre en euros n'ont pas de somme commune directement interprétable. Il faut calculer des totaux séparés ou convertir selon une règle explicitée.

Le glossaire système dynamique situe le cadre dans lequel un état évolue et aide à interpréter le rôle conjoint de A et B.

L'article La théorie du contrôle et les problèmes de type Zermelo ouvre sur le domaine où des commandes servent à orienter l'évolution d'un système.