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matrice de Leontief
Pour livrer les biens demandés, chaque secteur utilise aussi une partie de ce que produisent les autres : la production totale doit donc couvrir les besoins intermédiaires et la demande finale. La matrice C rassemble ces besoins par unité produite, X désigne la production totale et D la demande finale. Leur équilibre s’écrit X = C · X + D, soit . La matrice est appelée matrice de Léontief. Lorsque C est productive, elle est inversible et la solution donne la production nécessaire pour satisfaire la demande finale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de C, de Iₙ − C, de D et de X.
- Calculer la production totale dans un modèle à deux secteurs.
- Contrôler le résultat par l’égalité C X + D = X.
- Distinguer inversibilité algébrique et productivité économique.
En clair
Une économie à deux secteurs doit livrer des biens aux consommateurs, mais chaque secteur consomme aussi une partie de la production de l’autre. Produire davantage déclenche donc de nouveaux besoins intermédiaires.
La matrice de Leontief organise cette chaîne de besoins. Elle sépare ce que les secteurs utilisent entre eux de la demande finale. Résoudre le modèle revient à remonter toute la chaîne pour obtenir la production totale nécessaire, besoins directs et indirects compris.
Définition
Dans un modèle entrées-sorties à n secteurs, le coefficient technique aij indique la quantité du produit du secteur i consommée pour fabriquer une unité du produit du secteur j. La matrice carrée C rassemble ces coefficients. Le vecteur X décrit les productions totales et le vecteur D les demandes finales, extérieures aux consommations intermédiaires des secteurs.
Le vecteur C X représente les besoins intermédiaires. L’équilibre s’écrit , donc , où In est la matrice identité d’ordre n. La matrice In − C est la matrice de Leontief.
Si C est productive, In − C est inversible et son inverse donne l’unique production répondant à D : . Une condition usuelle équivalente, pour une matrice C à coefficients non négatifs, est que son rayon spectral soit strictement inférieur à 1. L’inversibilité seule assure une solution algébrique, mais pas nécessairement une production économiquement admissible et non négative pour toute demande finale non négative.
De quoi c'est fait
Le modèle réunit cinq éléments. Les secteurs fixent l’ordre commun des lignes et des colonnes. Les coefficients techniques aij remplissent C : la ligne i nomme le produit consommé et la colonne j le secteur qui produit. Le vecteur D contient la demande finale de chaque produit. Le vecteur X contient les productions totales recherchées. Enfin, la matrice de Leontief In − C transforme la production en quantité disponible pour la demande finale.
L’ordre des secteurs relie donc chaque composante de D et de X aux lignes de C. Les coefficients de C déterminent C X, qui dépend lui-même de X : c’est cette boucle que l’inversion résout. Ces données suffisent à calculer X lorsque In − C est inversible. Changer l’unité de production impose en revanche de recalculer les coefficients concernés.
Un exemple, pas à pas
Deux secteurs A et B utilisent respectivement les mêmes unités de production. Pour une unité produite, A requiert 0,2 unité de A et 0,3 unité de B ; B requiert 0,1 unité de A et 0,2 unité de B. La demande finale est de 70 unités de A et 50 unités de B.
1. On range ces données dans
et .
2. La matrice de Leontief vaut
. Son déterminant est 0,8 × 0,8 − 0,1 × 0,3 = 0,61 : elle est inversible.
3. L’inverse est
. La multiplication par D donne .
Le résultat exige donc 100 unités de A et 100 unités de B. Le contrôle est direct : C X = (30, 50), puis C X + D = (30, 50) + (70, 50) = (100, 100) = X.
En pratique
Dans un tableau entrées-sorties, on estime d’abord les coefficients techniques à partir des consommations intermédiaires observées. Le modèle de Leontief convient lorsque ces proportions peuvent être tenues pour fixes sur le scénario étudié. Si elles changent fortement avec le volume produit, un modèle à coefficients variables est préférable.
Pour tester une nouvelle demande finale, on remplace D puis on résout (In − C)X = D. Résoudre le système linéaire est généralement préférable au calcul explicite de l’inverse, surtout avec beaucoup de secteurs ; le résultat recherché reste le même.
Avant d’interpréter X, on contrôle les unités, l’ordre des secteurs et la convention ligne-colonne. On vérifie ensuite que les productions obtenues sont non négatives et que C X + D reproduit X à la précision du calcul.
À ne pas confondre
Matrice des coefficients techniques et matrice de Leontief. La première est C et décrit les consommations intermédiaires par unité produite ; la seconde est In − C. Dans l’exemple, leur premier coefficient vaut respectivement 0,2 et 0,8.
Inverse de Leontief et matrice inverse. Une matrice inverse est une notion générale d’algèbre linéaire. L’inverse de Leontief est précisément (In − C)−1 dans un modèle entrées-sorties. Inverser C à la place ne répond pas à l’équation d’équilibre.
Production totale et demande finale. D exclut les échanges intermédiaires, tandis que X les inclut. Dans l’exemple, la demande finale de A vaut 70 unités, mais sa production totale vaut 100 unités parce que 30 unités de A alimentent les deux secteurs.
Limites et pièges
Seuil de productivité. Pour C à coefficients non négatifs, un rayon spectral strictement inférieur à 1 garantit que les besoins indirects convergent. Au seuil 1, la série In + C + C2 + … ne converge plus ; il faut alors revoir les coefficients ou le modèle avant de calculer une production.
Inversible ne signifie pas toujours productive. Le symptôme est une solution comportant une production négative pour une demande finale non négative. Il faut contrôler la non-négativité de l’inverse de Leontief, ou établir une condition de productivité adaptée, plutôt que s’arrêter à un déterminant non nul.
Coefficients supposés fixes. Le modèle de base conserve les mêmes besoins par unité, quelle que soit la quantité produite. Si une pénurie, une substitution ou un rendement d’échelle modifie ces proportions, le calcul reste algébriquement correct pour C mais son interprétation économique devient fragile ; il faut actualiser C ou changer de modèle.
Orientation des coefficients. Certains tableaux adoptent une convention transposée. Le signe visible est une incohérence entre les totaux sectoriels et C X. Il faut identifier ce que représentent lignes et colonnes, puis transposer les données si nécessaire avant la résolution.
Pour aller plus loin
Le glossaire sur la matrice inverse précise l’opération qui transforme une demande finale en production totale lorsque In − C est inversible.
Le glossaire sur le rayon spectral approfondit le seuil inférieur à 1 qui garantit la convergence des besoins directs et indirects.
Le glossaire sur la valeur propre donne les outils algébriques utilisés pour déterminer le rayon spectral de la matrice des coefficients techniques.
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