matrice de Hadamard

Imaginez un carré rempli uniquement de 1 et de −1. Comparez deux lignes en multipliant leurs nombres colonne par colonne, puis en additionnant les résultats. Dans une matrice de Hadamard, chaque comparaison entre deux lignes différentes donne zéro : leurs accords et leurs désaccords se compensent exactement.

Cette organisation très équilibrée fournit des motifs faciles à distinguer les uns des autres. Elle explique leur intérêt lorsqu'il faut séparer des signaux ou construire des codes capables de résister à des erreurs.

Une matrice de Hadamard est un tableau carré comportant le même nombre n de lignes et de colonnes. Chacun de ses coefficients vaut 1 ou −1. Deux lignes distinctes ont un produit scalaire nul ; comme la matrice est carrée, cette propriété équivaut à l'orthogonalité deux à deux des colonnes.

Si H désigne la matrice, H^T sa transposée et I_n la matrice identité d'ordre n, la condition complète s'écrit : $H{H}^T=n{I}_{n}H\; H^T=n\; I\_n$. Les termes diagonaux du produit valent n, car une ligne contient n coefficients dont le carré vaut 1. Les autres termes sont nuls, car ils sont les produits scalaires de lignes différentes.

Une telle matrice peut exister pour n = 1 ou n = 2. Au-delà, son ordre doit être un multiple de 4. Cette condition est nécessaire, mais son caractère suffisant pour tout multiple de 4 n'est pas démontré en général : c'est la conjecture de Hadamard.

L'objet réunit quatre éléments nécessaires : un ordre n, un tableau carré, des coefficients limités à 1 et −1, et des lignes orthogonales deux à deux. L'ordre fixe à la fois le nombre de lignes, le nombre de colonnes et la longueur de chaque ligne. La restriction sur les coefficients fait que chaque ligne a un produit scalaire avec elle-même égal à n.

La transposée H^T échange lignes et colonnes. Son produit avec H rassemble donc tous les produits scalaires : la diagonale vaut n et chaque autre case vaut zéro. Le code couleur d'une représentation peut rendre visibles les 1 et les −1, mais il ne définit pas la matrice ; seules les valeurs et leur disposition comptent.

Considérons un tableau d'ordre 4. Les données sont quatre lignes de quatre coefficients : r₁ = (1, 1, 1, 1), r₂ = (1, −1, 1, −1), r₃ = (1, 1, −1, −1) et r₄ = (1, −1, −1, 1).

1. Plaçons ces lignes dans la matrice H :

2. Comparons la première ligne à chacune des trois autres : 1 − 1 + 1 − 1 = 0, puis 1 + 1 − 1 − 1 = 0, et enfin 1 − 1 − 1 + 1 = 0.

3. Contrôlons les trois paires restantes : r₂ · r₃ = 1 − 1 − 1 + 1 = 0 ; r₂ · r₄ = 1 + 1 − 1 − 1 = 0 ; r₃ · r₄ = 1 − 1 + 1 − 1 = 0.

4. Chaque ligne a pour carré de norme 1² + 1² + 1² + 1² = 4. Les six produits entre lignes distinctes sont nuls, donc $H{H}^T=4I_{4}H\; H^T=4\; I\_4$. Le résultat est une matrice de Hadamard d'ordre 4 ; refaire les six sommes fournit un contrôle complet.

Dans un code correcteur d'erreurs, les lignes fournissent des motifs nettement séparés par leur orthogonalité. On les choisit quand cette séparation exacte est utile ; une matrice binaire arbitraire suffit si aucune orthogonalité n'est exigée.

En traitement du signal, les signes 1 et −1 servent à combiner des données selon des motifs équilibrés. Une matrice de Hadamard est adaptée lorsque ces motifs doivent être orthogonaux ; d'autres transformations conviennent si la représentation recherchée impose une autre structure.

En conception d'expériences, les deux signes peuvent coder deux modalités et les lignes ou colonnes organiser des comparaisons équilibrées. Ce choix convient quand le plan demandé possède l'ordre admissible et l'orthogonalité voulue ; sinon, il faut employer un autre plan expérimental.

Matrice orthogonale. Une matrice réelle Q est orthogonale lorsque Q Q^T = I. Une matrice de Hadamard H vérifie au contraire H H^T = nI. Pour n supérieur à 1, H n'est donc pas elle-même orthogonale ; la matrice obtenue en divisant tous ses coefficients par √n l'est.

Matrice carrée à coefficients 1 ou −1. Cette apparence ne suffit pas. Par exemple, deux lignes identiques ont un produit scalaire égal à n et non à zéro : le tableau n'est alors pas une matrice de Hadamard.

Ordres impossibles. Pour un ordre supérieur à 2, l'absence de divisibilité par 4 exclut une matrice de Hadamard. Un tableau 6 × 6 à coefficients 1 et −1 ne peut donc pas satisfaire toutes les orthogonalités demandées.

Condition nécessaire, existence non garantie par un théorème général. Être multiple de 4 franchit l'obstacle arithmétique, mais ne constitue pas une preuve universelle d'existence. Affirmer qu'une matrice existe pour chaque ordre 4k reviendrait à tenir la conjecture de Hadamard pour démontrée.

Orthogonalité incomplète. Vérifier quelques paires de lignes ne suffit pas. Pour l'exemple d'ordre 4, il faut contrôler les six paires distinctes et les quatre produits d'une ligne avec elle-même, ou calculer entièrement H H^T.

Produit scalaire — Pour reprendre le calcul qui traduit l'orthogonalité de deux lignes par une somme nulle.

Codes correcteurs : garder les erreurs à distance — Pour prolonger l'une des principales applications des motifs orthogonaux.

À la base du traitement du signal — Pour situer le rôle des transformations et des représentations dans l'analyse des signaux.