méthode de Lill

Imaginez une ligne brisée dont chaque segment porte un nombre : ces nombres sont les coefficients d'un polynôme. Les segments se succèdent à angle droit, comme un parcours géométrique qui garde la trace du calcul.

Pour chercher une racine réelle, on essaie une direction de visée. Si cette droite peut rebondir correctement sur les segments jusqu'à l'autre extrémité, sa pente donne la racine cherchée. Le dessin transforme ainsi une suite d'opérations algébriques en construction visible.

La méthode de Lill, ou méthode des orthogones, est une résolution graphique d'une équation polynomiale. Pour un polynôme de degré n, on construit un chemin brisé à partir de ses coefficients, en traçant des segments successifs perpendiculaires. Leurs longueurs représentent les valeurs absolues des coefficients, tandis que leur orientation encode leur signe selon la convention de tracé retenue.

Une ligne de visée est ensuite cherchée depuis le point de départ vers le point d'arrivée, avec des rebonds perpendiculaires sur les segments du chemin. Lorsque la construction aboutit, la pente de cette ligne fournit une racine réelle, sous réserve de la convention d'échelle choisie pour le dessin. La procédure est une traduction géométrique de la méthode de Horner : les coefficients sont parcourus dans un ordre fixé et chaque rebond correspond à une étape du calcul.

La méthode concerne les équations algébriques de degré quelconque. Elle représente directement les racines réelles ; les racines non réelles ne se lisent pas comme une pente réelle du dessin plan.

Pour une équation polynomiale dont les coefficients sont connus, construisez le chemin de Lill en alternant des segments perpendiculaires, dans l'ordre fixé par la convention choisie. Une pente réelle est une racine lorsque la ligne de visée correspondante rebondit sur les segments successifs et atteint le point d'arrivée selon la règle de la construction.

Dans l'exemple conducteur, le polynôme est $x^3-2x^2-x+2x^3-2x^2-x+2$. Ses racines réelles sont 2, 1 et −1, car $x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$.

La méthode demande les coefficients du polynôme, un ordre de lecture fixé et une échelle de dessin cohérente. Elle s'applique à une équation algébrique de degré quelconque ; le chemin doit conserver les longueurs relatives et les orientations associées aux signes.

Le résultat graphique concerne les racines réelles. Une racine multiple peut produire une même pente plusieurs fois, et une racine complexe ne possède pas de pente réelle à lire dans ce dessin plan. Si un coefficient intermédiaire est nul, le segment correspondant a une longueur nulle : la construction devient dégénérée et doit être traitée avec la convention géométrique adaptée, plutôt que mesurée comme un segment visible.

Une approximation graphique dépend de l'échelle et de la précision du tracé. Pour un calcul exact ou pour vérifier une multiplicité, la factorisation ou une méthode algébrique complète reste nécessaire.

On étudie l'équation $x^3-2x^2-x+2=0x^3-2x^2-x+2=0$. Les données sont le degré 3 et les coefficients 1, −2, −1 et 2, lus du terme de degré 3 au terme constant.

1. Le premier segment représente 1, puis le deuxième représente −2 dans la direction perpendiculaire imposée par la convention.

2. Le troisième segment représente −1, perpendiculaire au précédent, et le quatrième représente 2, perpendiculaire au troisième. Le chemin obtenu porte donc successivement les valeurs 1, −2, −1 et 2.

3. Fixons la convention de visée utilisée ici : partez de A avec une direction candidate, puis marquez ses trois rencontres successives avec le deuxième, le troisième et le quatrième segment, en reportant la ligne à chaque rebond avec l'angle droit imposé par le segment rencontré. Pour la candidate de pente 1, la trajectoire aboutit à B après les trois rebonds marqués. En reprenant exactement ce contrôle pour les deux autres trajectoires, on obtient les pentes 2, 1 et −1, qui fournissent les trois racines réelles de l'équation.

Le contrôle algébrique est direct : $x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$. Chaque facteur s'annule pour la pente annoncée, ce qui vérifie le résultat sans dépendre de la précision du dessin.

La méthode est utile lorsque l'on veut voir comment les coefficients organisent une résolution, plutôt que seulement obtenir une valeur par calcul. Le geste consiste à construire le chemin, puis à tester des pentes dont les rebonds respectent la géométrie.

Pour une lecture précise, on complète le dessin par une factorisation ou par une vérification numérique. Cette alternative devient préférable lorsque les segments sont très courts, lorsqu'un coefficient est nul ou lorsque deux pentes sont proches.

La méthode de Lill ne se confond pas avec la factorisation d'un polynôme. La factorisation transforme directement l'expression en produit ; la méthode de Lill construit un chemin et interprète géométriquement des pentes. Pour trancher, vérifiez si le résultat vient d'un produit de facteurs ou d'une ligne de visée dans un orthogone.

Elle ne se confond pas non plus avec la méthode de Horner. Horner est un calcul algébrique organisé par divisions et multiplications successives ; Lill en donne une traduction graphique. Dans les deux cas, les coefficients sont parcourus, mais le support du raisonnement n'est pas le même.

Un dessin ne fournit pas une exactitude supérieure à celle de sa règle et de son échelle. Une pente lue à l'œil est donc une approximation ; une égalité algébrique ou une factorisation sert de contrôle exact.

Un coefficient nul produit un segment de longueur nulle. Il ne faut pas interpréter l'absence de longueur comme une nouvelle racine : elle signale une étape dégénérée du chemin et impose de respecter soigneusement la convention de construction.

Enfin, la construction plane ne fait pas apparaître les racines complexes comme des pentes réelles. Pour le polynôme conducteur, les trois racines 2, 1 et −1 sont réelles et se contrôlent par factorisation ; cette propriété ne s'étend pas à toutes les racines d'un polynôme quelconque.

La méthode de Lill se comprend comme une lecture géométrique de la méthode de Horner : le chemin encode les coefficients et les rebonds figurent les transformations successives du calcul. Ce point de vue permet d'étudier la relation entre une procédure algébrique et sa représentation plane, sans attribuer au dessin les racines complexes qu'il ne représente pas directement.