résolution graphique

Imaginez une courbe tracée sur un repère. Chaque endroit où elle coupe l’axe horizontal donne une valeur qui annule l’expression représentée. Si deux courbes sont tracées, leurs points de rencontre donnent les valeurs pour lesquelles les deux expressions sont égales. La résolution graphique transforme ainsi une équation en une lecture de positions visibles.

Le dessin fournit une estimation immédiate. La précision dépend toutefois de l’échelle, de la qualité du tracé et de la finesse de lecture.

La résolution graphique consiste à représenter dans un même repère les fonctions associées à une équation, puis à lire les abscisses de points remarquables. Pour une fonction notée f, une solution de l’équation $f(x)=0f(x)=0$ est l’abscisse d’un point où la courbe de f rencontre l’axe des abscisses. Pour deux fonctions notées f et g, les solutions de $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$ sont les abscisses des intersections de leurs courbes.

La lecture ne donne que les solutions visibles dans la fenêtre choisie. Une intersection peut être manquée si elle se trouve hors du repère, si deux tracés se frôlent ou si la résolution de l’affichage est insuffisante. Une vérification par substitution dans l’équation distingue une valeur exacte d’une simple approximation graphique.

Descartes a systématisé en 1637, dans sa Géométrie, la correspondance entre problèmes géométriques et équations algébriques, en fixant notamment une unité de longueur. Pour les polynômes, la méthode de Segner et l’orthogone de Lill publié en 1867 reposent sur des constructions différentes qui conduisent au même résultat. Les logiciels de tracé et de calcul formel facilitent aujourd’hui ces représentations.

Choisissez un intervalle et une échelle, puis tracez les courbes dans le même repère. Pour résoudre $f(x)=0f(x)=0$, relevez l’abscisse de chaque rencontre entre la courbe de f et l’axe horizontal. Pour résoudre $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$, relevez l’abscisse de chaque intersection entre les courbes de f et de g. Relevez toutes les intersections visibles dans la fenêtre, puis contrôlez chaque valeur dans l’équation initiale. Pour affirmer qu’il n’existe pas d’autre solution hors de la fenêtre, justifiez-le ou vérifiez-le par une autre méthode.

La méthode demande une relation représentable dans un repère, une fenêtre contenant la zone étudiée et une échelle assez fine pour séparer les intersections. Les unités et les échelles de chaque axe doivent être connues, cohérentes avec le repère et correctement prises en compte ; elles n’ont pas à être identiques. Le résultat obtenu est une lecture exacte seulement si l’abscisse est identifiable sans ambiguïté ; sinon, il s’agit d’une approximation.

Si une intersection se situe hors de la fenêtre, le dessin ne la révèle pas. Il faut alors élargir l’intervalle, modifier l’échelle ou employer une résolution algébrique ou numérique pour rechercher les solutions manquantes.

On représente la fonction f qui associe à un nombre x la valeur x² − 4, puis la fonction g qui lui associe x + 2. Les données sont l’intervalle −4 ≤ x ≤ 4, la parabole de f, la droite de g et l’axe des abscisses. La figure rend visibles les lectures utilisées dans les deux résolutions.

1. Pour résoudre $f(x)=0f(x)=0$, on repère les rencontres de la parabole avec l’axe horizontal.
2. Leurs abscisses sont −2 et 2.
3. Pour résoudre $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$, on repère les intersections de la parabole et de la droite.
4. Leurs abscisses sont −2 et 3.

Le contrôle par substitution confirme les zéros : $(-2{)}^2-4=0(-2)^2-4=0$ et $2^2-4=02^2-4=0$. Il confirme aussi les intersections : $(-2{)}^2-4=-2+2=0(-2)^2-4=-2+2=0$ et $3^2-4=3+2=53^2-4=3+2=5$. Ces valeurs sont exactes, et non de simples arrondis du tracé.

Sur papier, on choisit une fenêtre adaptée, on place quelques points calculés, puis on relie ces points en respectant l’allure de la courbe. Une résolution algébrique est préférable lorsque des valeurs exactes sont exigées.

Avec un logiciel de tracé, on ajuste la fenêtre et on zoome près d’une intersection. Une méthode numérique devient préférable lorsque le point est visible mais que son abscisse ne se lit pas précisément.

Pour contrôler un calcul, on reporte les solutions obtenues sur le graphique. Une valeur incompatible avec la position des intersections signale une erreur de calcul, de signe ou de saisie.

Résolution graphique et résolution algébrique. La première lit des intersections dans un repère ; la seconde transforme des expressions selon des règles de calcul. Pour x² − 4 = 0, le graphique montre −2 et 2, tandis que la factorisation établit exactement ces deux valeurs.

Résolution graphique et résolution numérique. La méthode graphique localise une solution par le tracé. Une méthode numérique calcule une approximation assortie d’un critère de précision. Si une intersection se lit seulement près de 1,4, un calcul numérique peut fournir davantage de décimales.

Fenêtre trop étroite. L’absence d’intersection visible ne prouve pas l’absence de solution. Si le repère s’arrête à x = 2, l’intersection de l’exemple située à x = 3 disparaît ; il faut élargir l’intervalle.

Tangence ou courbes presque confondues. Une rencontre sans croisement peut être une solution, tandis que deux courbes très proches peuvent sembler se toucher. Il faut zoomer puis vérifier la valeur par substitution ou par une autre méthode.

Lecture arrondie. L’épaisseur du trait et l’échelle peuvent faire lire 1,4 alors que la solution n’est pas exactement 1,4. Il faut écrire ≈ pour une lecture approchée et réserver le signe = aux valeurs démontrées exactes.

Courbes superposées. Si deux fonctions ont la même courbe sur tout un intervalle, chaque abscisse de cet intervalle résout leur égalité. Il ne faut pas réduire cette infinité de solutions à quelques points choisis sur le tracé.

La correspondance entre algèbre et géométrie peut être prolongée de deux façons. Pour un polynôme, les constructions de Segner et l’orthogone de Lill traduisent ses coefficients en objets géométriques et conduisent au même résultat par des chemins distincts. Pour une équation dont les intersections se lisent mal, les méthodes numériques complètent le graphique en calculant une approximation contrôlée.

Comparer le tracé, la transformation algébrique et l’approximation numérique permet de distinguer trois rôles : localiser une solution, prouver sa valeur exacte et obtenir une précision donnée.