modèle de Schaefer

Imaginez un stock de poissons dont on suit la masse totale. Lorsqu’il est très faible, peu de poissons peuvent se reproduire. Lorsqu’il approche de la biomasse maximale du milieu, les ressources disponibles freinent aussi son augmentation. Entre les deux se trouve un niveau où le renouvellement annuel est le plus élevé.

Le modèle de Schaefer cherche ce sommet. Lorsque la biomasse vaut M/2 et que les hypothèses du modèle sont satisfaites, une prise effectivement maintenue égale à ce renouvellement maximal maintient cette biomasse stable tout en donnant la plus grande prise durable.

Le modèle de Schaefer, proposé en 1954 par Milner Baily Schaefer, décrit une pêcherie à partir d’une seule espèce. La biomasse présente est notée B. La biomasse maximale que le milieu peut porter est notée M, et le taux intrinsèque de croissance de l’espèce est noté r. La production biologique annuelle associée à une biomasse donnée s’écrit $P(B)=rB(1-\frac{B}{M})P(B)=rB\backslash left(1-\backslash frac\{B\}\{M\}\backslash right)$.

À l’équilibre, une prise durable compense exactement cette production. La production est maximale lorsque la biomasse vaut la moitié de la biomasse maximale : $B_{REM}=\frac{M}{2}B\_\{REM\}=\backslash frac\{M\}\{2\}$. Le rendement équilibré maximal, abrégé REM, vaut alors $REM=\frac{rM}{4}REM=\backslash frac\{rM\}\{4\}$. Ces résultats supposent que les paramètres restent constants et que la dynamique décrite par le modèle représente correctement le stock.

Le nom de modèle de Gordon-Schaefer rappelle que l’économiste Howard Scott Gordon publia indépendamment, la même année, des travaux aux conclusions analogues. Ce cadre déterministe et mono-espèce n’intègre ni les fluctuations aléatoires d’une année à l’autre ni les interactions entre espèces.

Considérons un stock hypothétique. Sa biomasse maximale M est de 1 000 tonnes et son taux intrinsèque annuel r vaut 0,4. On cherche la biomasse associée au rendement équilibré maximal, puis la prise annuelle correspondante.

1. Déterminer la biomasse cible.
La moitié de 1 000 tonnes vaut 500 tonnes. Le sommet de la production se situe donc à B = 500 tonnes.

2. Calculer la production à cette biomasse.
$P(500)=\mathrm{0,4}\times 500(1-\frac{500}{1000})=100P(500)=0\{,\}4\backslash times500\backslash left(1-\backslash frac\{500\}\{1000\}\backslash right)=100$. La production biologique est de 100 tonnes par an.

3. Contrôler avec la formule du REM.
$REM=\frac{\mathrm{0,4}\times 1000}{4}=100REM=\backslash frac\{0\{,\}4\backslash times1000\}\{4\}=100$. Les deux calculs donnent exactement 100 tonnes par an.

Dans ce modèle, une prise annuelle de 100 tonnes maintient l’équilibre seulement si la biomasse reste à 500 tonnes et si les hypothèses sont respectées. La courbe de production rend visible ce maximum et permet de refaire le contrôle.

Pour étudier une pêcherie, on estime la biomasse maximale du milieu et le taux intrinsèque de croissance, puis on calcule la courbe de production. Le sommet fournit un repère de rendement durable dans le cadre du modèle.

On compare ensuite la biomasse observée au niveau associé au REM. Dans l’exemple, ce niveau est de 500 tonnes : une prise de 100 tonnes par an ne décrit un équilibre maximal qu’à cette biomasse, pas à n’importe quel état du stock.

Si les variations interannuelles sont fortes, un modèle stochastique est préférable, car il représente l’aléa ignoré ici. Si plusieurs espèces exploitées interagissent, il faut plutôt un modèle multispécifique.

Biomasse maximale et biomasse au REM. La première, notée M, est la biomasse maximale du milieu ; la seconde vaut M/2 dans le modèle. Avec M = 1 000 tonnes, elles valent respectivement 1 000 et 500 tonnes.

Rendement équilibré maximal et prise observée. Le REM est le maximum de la production biologique calculée à l’équilibre. Une prise réelle de 100 tonnes n’est donc pas automatiquement un REM : dans l’exemple, elle doit correspondre à une biomasse de 500 tonnes et aux hypothèses du modèle.

Modèle déterministe et modèle stochastique. Le premier donne la même évolution pour les mêmes paramètres et le même état initial. Le second représente des fluctuations aléatoires ; il est indiqué lorsque ces variations interannuelles ne peuvent pas être négligées.

Le sommet n’est pas une garantie hors modèle. Le seuil charnière B = M/2 maximise la production calculée. Si les paramètres changent ou sont mal estimés, la biomasse et la prise associées au REM changent aussi ; il faut réestimer le modèle avant d’appliquer ce repère.

Les années ne sont pas toutes identiques. Une suite de productions observées très dispersées autour de la courbe peut avoir plusieurs causes : fluctuations interannuelles, erreurs de mesure, paramètres variables ou variables omises. La seule dispersion ne justifie donc pas un modèle stochastique : il faut d’abord diagnostiquer une composante aléatoire.

Une espèce isolée peut être une fiction insuffisante. Si la pêche d’une espèce modifie nettement l’abondance d’une autre, le diagnostic mono-espèce omet une interaction observable. Il faut employer un modèle qui représente plusieurs espèces et leurs relations.

Une égalité de prise ne suffit pas à établir l’équilibre. Dans l’exemple, observer 100 tonnes capturées pendant une année ne prouve ni une biomasse stable de 500 tonnes ni un renouvellement durable. Il faut aussi suivre l’état du stock dans le temps.

Le prolongement naturel consiste à relâcher les deux simplifications majeures du modèle. Les modèles stochastiques décrivent les fluctuations interannuelles, tandis que les modèles multispécifiques représentent les interactions entre populations exploitées. On peut alors comparer leurs résultats au repère simple fourni par le modèle de Schaefer.