AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de Leslie
Une matrice de Leslie modélise, sur des périodes de même durée, l’évolution d’une population répartie en classes d’âge. Sa première ligne donne les fertilités de chaque classe, sa sous-diagonale les proportions d’individus survivant jusqu’à la classe suivante, et ses autres coefficients sont nuls. À classes et taux constants, sa multiplication par le vecteur des effectifs fournit les effectifs attendus à la période suivante.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la première ligne de fertilité et la sous-diagonale de survie.
- Calculer deux projections successives sur un exemple à trois classes d’âge.
- Interpréter avec prudence la valeur propre dominante et le seuil 1.
En clair
Imaginons une population répartie en trois classes d’âge. En une période, certains individus donnent naissance à de nouveaux membres, tandis qu’une partie des autres survit et passe dans la classe suivante. Une matrice de Leslie rassemble ces deux mécanismes dans une grille de nombres.
En multipliant cette grille par les effectifs actuels, on obtient les effectifs de la période suivante. Répéter l’opération fait apparaître la croissance, le recul ou les oscillations possibles de la population.
Définition
Une matrice de Leslie modélise une population répartie en un nombre fini de classes d’âge, observées à intervalles de temps réguliers. Le vecteur N(t) contient les effectifs de chaque classe à la date t. La matrice carrée L contient les paramètres qui transforment N(t) en N(t+1).
Pour n classes, les coefficients de fertilité f1, …, fn occupent la première ligne. Le taux de survie sk, compris entre 0 et 1, est placé sous la diagonale : il donne la proportion de la classe k qui atteint la classe k + 1. Les autres coefficients sont nuls. La structure complète est donc :
La règle d’évolution est . Sous des hypothèses assurant qu’un régime dominant s’impose, la valeur propre dominante donne le facteur de croissance par période et un vecteur propre associé donne la répartition d’âge stable.
De quoi c'est fait
Quatre éléments font fonctionner le modèle. Les classes ordonnent les âges. Le vecteur d’effectifs compte les individus dans cet ordre. La première ligne de la matrice transforme chaque classe en contribution aux naissances. La sous-diagonale transforme chaque effectif en survivants de la classe suivante. Les zéros excluent les autres passages dans ce modèle.
L’ordre des classes relie donc chaque composante du vecteur à une colonne de la matrice, tandis que la durée choisie pour une période fixe le sens des coefficients. Ces données suffisent à construire L et à calculer chaque nouvel effectif. Le schéma associé rend visibles les naissances et les deux passages par survie dans l’exemple conducteur.
Un exemple, pas à pas
Une population comporte trois classes d’âge. Au départ, leurs effectifs sont 100, 60 et 20 individus. Les fertilités par période sont 0, 0,5 et 1 naissance par individu. Les proportions qui survivent vers la classe suivante sont 0,8 puis 0,5.
1. On range les données dans la matrice L et le vecteur initial N(0).
3. On calcule les passages : 0,8 × 100 = 80 et 0,5 × 60 = 30.
2. On calcule les naissances : 0 × 100 + 0,5 × 60 + 1 × 20 = 50.
3. On calcule les passages : 0,8 × 100 = 80 et 0,5 × 60 = 30.
4. Une seconde multiplication donne 70 naissances, 40 passages vers la deuxième classe et 40 vers la troisième, soit . Le contrôle consiste à refaire séparément chaque ligne : chaque total utilise seulement les coefficients non nuls de cette ligne.
En pratique
En démographie, on choisit une durée de période et des classes d’âge compatibles, puis on applique les fertilités et survies estimées. Le modèle fournit une projection des effectifs par classe, pas une certitude individuelle.
Pour comparer des scénarios, on modifie un coefficient à la fois et on observe les vecteurs successifs. Si les taux varient fortement au fil du temps, une suite de matrices différentes est préférable à une matrice L fixe.
Pour étudier le long terme, on examine la valeur propre dominante et la structure d’âge associée. Si plusieurs rythmes concurrents persistent, les itérations explicites restent indispensables pour voir les oscillations ou les composantes qui ne se mélangent pas.
À ne pas confondre
Matrice de Leslie et matrice de transition. Dans une matrice de transition probabiliste, chaque colonne ou ligne, selon la convention, décrit des probabilités dont la somme vaut 1. La première ligne d’une matrice de Leslie contient des nombres moyens de naissances et sa somme n’a pas à valoir 1.
Effectif projeté et probabilité individuelle. Un résultat comme 50 naissances est un effectif moyen produit par le modèle. Il ne signifie pas que chaque individu possède une probabilité de 50 de donner naissance. L’unité et la ligne calculée tranchent la confusion.
Limites et pièges
Taux fixes. Une seule matrice suppose que fertilités et survies restent constantes d’une période à l’autre. Si les données changent, le symptôme est un écart systématique entre observations et projection ; il faut employer une matrice propre à chaque période.
Classes et pas de temps. Un taux de survie doit correspondre exactement au passage entre deux classes pendant une période. Dans l’exemple, 0,8 signifie que 80 individus sur 100 passent à la classe suivante ; changer la durée invalide ce calcul sans conversion des taux.
Valeur propre dominante. Le plus grand module ne suffit pas toujours à produire une répartition stable unique. Si plusieurs valeurs propres ont le même module maximal, ou si des classes restent séparées, des oscillations ou plusieurs régimes peuvent persister. Il faut alors examiner le spectre et les composantes de la matrice.
Seuil de renouvellement. Une valeur propre dominante strictement supérieure à 1 indique une croissance asymptotique ; strictement inférieure à 1, un déclin ; égale à 1, un seuil. Cette lecture asymptotique ne supprime ni les fluctuations transitoires ni l’effet du vecteur initial.
Pour aller plus loin
La notion de valeur propre donne les outils pour relier les multiplications successives au facteur de croissance et à la structure d’âge de long terme.
L’article Dynamique des populations : pallier le manque de données prolonge la réflexion vers une difficulté concrète : construire une analyse quand les observations disponibles sont incomplètes.
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