Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
paradoxe des prisonniers
Dans le paradoxe des trois prisonniers, deux seront exécutés et un sera gracié, chacun ayant initialement la même chance de l'être ; le gardien, qui connaît leur sort, doit désigner véridiquement un autre prisonnier condamné. S'il choisit au hasard entre les deux noms possibles, cette annonce ne porte pas la chance de grâce du demandeur de 1/3 à 1/2 : elle reste de 1/3, tandis que celle du prisonnier non désigné vaut 2/3. L'annonce dépend du sort et du protocole du gardien, donc les deux survivants possibles ne sont pas équiprobables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'erreur qui consiste à partager uniformément les chances entre deux noms restants.
- Refaire le calcul conditionnel qui donne 1/3 à A et 2/3 à C.
- Reconnaître pourquoi la règle de sélection du gardien peut modifier le résultat pour C.
En clair
Imaginez trois prisonniers, A, B et C. Un seul sera gracié, chacun ayant au départ une chance sur trois. A demande au gardien de nommer, parmi B et C, une personne qui sera exécutée. Le gardien répond B.
Il reste bien deux noms non désignés, mais leurs chances ne deviennent pas égales. Le gardien était obligé de fournir un nom et sa réponse dépendait du prisonnier gracié. A conserve sa chance initiale de 1/3. Avec la règle de réponse symétrique habituelle, C porte les 2/3 restants.
Définition
Le paradoxe des prisonniers est un problème de probabilité conditionnelle. Trois prisonniers A, B et C savent qu'un seul sera gracié. Avant toute réponse, les trois possibilités sont équiprobables : chacun a une probabilité de grâce égale à 1/3. A demande au gardien de désigner un condamné parmi B et C. Cette réponse est toujours possible et n'apporte donc aucune chance supplémentaire à A.
Pour calculer la probabilité de C après la désignation de B, il faut connaître la règle du gardien. Dans la version usuelle, si A est gracié, le gardien choisit B ou C avec la même probabilité. Si B est gracié, il doit désigner C ; si C est gracié, il doit désigner B. Dès que B est nommé, l'hypothèse « B gracié » est éliminée, mais les deux hypothèses restantes n'avaient pas la même probabilité de produire cette réponse.
Conditionnellement à « B est désigné », la probabilité que A soit gracié vaut donc 1/3 et celle que C soit gracié vaut 2/3. Le paradoxe vient de la redistribution uniforme, mais injustifiée, entre A et C.
Le principe
Si A, B et C ont chacun une probabilité initiale de grâce égale à 1/3, et si le gardien désigne au hasard B ou C lorsque les deux sont condamnés, alors l'annonce « B sera exécuté » ne porte pas les chances de A à 1/2.
En notant DB l'événement « le gardien désigne B », la mise à jour correcte est . Il faut pondérer chaque scénario par sa probabilité de produire l'annonce observée.
Quand l'utiliser
Le résultat 1/3 contre 2/3 suppose trois grâces initialement équiprobables, exactement une personne graciée, une réponse toujours véridique et une règle connue. Lorsque A est gracié et que B comme C sont condamnés, la version classique fait choisir le gardien au hasard entre les deux noms.
Si le gardien préfère systématiquement désigner B lorsqu'il a le choix, l'annonce « B sera exécuté » ne suffit plus à donner 2/3 à C : A et C ont alors chacun 1/2 après cette annonce. Le calcul doit employer la véritable règle de sélection. En revanche, la chance de A avant de demander un nom reste 1/3, car le gardien peut toujours répondre.
Un exemple, pas à pas
A, B et C ont chacun une probabilité initiale de grâce de 1/3. Le gardien doit nommer un condamné parmi B et C. S'il peut nommer les deux, il choisit chacun avec une probabilité de 1/2. Il annonce que B sera exécuté.
1. Si A est gracié, la probabilité d'entendre B vaut 1/2. Le poids de ce chemin est donc (1/3) × (1/2) = 1/6.
2. Si B est gracié, le gardien ne peut pas désigner B. Le poids est 0.
3. Si C est gracié, le gardien doit désigner B. Le poids est (1/3) × 1 = 1/3.
2. Si B est gracié, le gardien ne peut pas désigner B. Le poids est 0.
3. Si C est gracié, le gardien doit désigner B. Le poids est (1/3) × 1 = 1/3.
L'annonce observée a un poids total de 1/6 + 1/3 = 1/2. Parmi ces cas, A représente (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 et C représente (1/3) ÷ (1/2) = 2/3. Le contrôle est immédiat : 1/3 + 2/3 = 1, tandis que le scénario où B est gracié a bien disparu.
En pratique
Face à une information nouvelle, listez les scénarios qui pouvaient produire exactement cette information. Une simple élimination ne suffit pas si certains scénarios rendaient l'annonce plus probable que d'autres.
Dans un choix révélé par une personne informée, demandez quelle règle guidait sa réponse. Si cette règle est connue, utilisez une probabilité conditionnelle ; si elle ne l'est pas, présentez plusieurs résultats possibles au lieu d'annoncer un nombre unique.
Pour vérifier un calcul, représentez les trois hypothèses avec leur poids initial, puis multipliez chaque poids par la probabilité de l'annonce. Normalisez enfin les poids conservés afin que leur somme soit égale à 1.
À ne pas confondre
Le paradoxe des prisonniers n'est pas une simple probabilité après élimination. Une élimination indépendante des scénarios restants pourrait conduire à deux chances égales. Ici, le gardien connaît le verdict et sa réponse dépend de ce verdict : ce mécanisme doit entrer dans le calcul.
Il est proche du paradoxe de Monty Hall, mais les récits ne posent pas exactement la même décision. Dans Monty Hall, un joueur choisit ensuite de conserver ou de changer de porte ; dans le paradoxe des prisonniers, on met à jour la probabilité de grâce après une désignation.
Limites et pièges
Le piège principal consiste à compter deux prisonniers non désignés et à leur attribuer automatiquement 1/2 chacun. Ce comptage oublie que l'annonce « B » est deux fois plus probable lorsque C est gracié que lorsque A l'est, dans la règle symétrique. Il faut comparer les probabilités des chemins, pas seulement leur nombre.
Le résultat 2/3 n'est pas universel si le gardien choisit autrement lorsqu'il dispose de deux noms. Une préférence systématique pour B donne 1/2 à A et 1/2 à C après « B ». Une préférence systématique pour C rendrait l'annonce « B » incompatible avec la grâce de A et donnerait alors une probabilité de 1 à C.
Une réponse mensongère, une possibilité de silence ou des probabilités initiales inégales changent aussi le modèle. Le symptôme est l'impossibilité d'attribuer à chaque scénario une probabilité précise de produire l'annonce. Il faut alors expliciter ces paramètres avant toute mise à jour.
Pour aller plus loin
La fiche Conditionnelle (probabilité) formalise la mise à jour d'une probabilité lorsqu'une information est connue.
Le paradoxe de Monty Hall prolonge le même mécanisme dans une situation où l'on peut conserver ou modifier un choix.
L'article Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin montre comment pondérer des hypothèses par la probabilité d'une observation dans un autre contexte.
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