plan d'expérience

Imaginez un atelier qui veut améliorer la résistance d'une pièce. La température et la durée de cuisson peuvent toutes deux agir sur le résultat. Tester sans planifier les combinaisons peut confondre leurs effets ; randomiser l'ordre des essais aide au contraire à limiter certains biais.

Un plan d'expérience organise à l'avance les combinaisons à essayer et la mesure à relever. En comparant les résultats dans un cadre commun, on estime l'influence propre de chaque facteur et leur éventuelle action conjointe.

Un plan d'expérience est une stratégie qui fixe quels essais réaliser afin de relier une ou plusieurs grandeurs d'entrée, appelées facteurs, à une grandeur mesurée, appelée réponse. Chaque facteur varie dans un domaine expérimental défini par des niveaux choisis. Les contraintes précisent les combinaisons réalisables et les conditions à maintenir.

La démarche comporte quatre temps liés. On identifie d'abord les facteurs, la réponse, les contraintes et le domaine étudié. On choisit ensuite une organisation d'essais et une stratégie d'analyse adaptées ; la forme du modèle peut ainsi être précisée avant les expériences. Celles-ci sont alors exécutées selon cette organisation. Enfin, les résultats observés servent à estimer les effets, à ajuster le modèle dans le domaine observé et à tirer des conclusions.

Dans un plan factoriel complet à deux niveaux, toutes les combinaisons des niveaux bas et haut sont testées. Cette variante aide à distinguer les effets des facteurs et leur interaction. Le modèle obtenu décrit les essais et peut guider une décision, mais sa validité ne s'étend pas automatiquement au-delà du domaine expérimental.

Un plan d'expérience réunit cinq éléments liés. Les facteurs sont les grandeurs que l'on fait varier. Leurs niveaux fixent les valeurs effectivement testées dans un domaine expérimental défini, qui peut être plus large. La réponse est la grandeur mesurée après chaque essai. Les contraintes écartent les réglages impossibles ou dangereux. Enfin, la matrice d'essais associe chaque essai à une combinaison de niveaux.

Sans niveaux, un facteur ne donne aucun réglage testable ; sans réponse commune, les essais ne peuvent pas être comparés. La matrice dépend donc du nombre de facteurs, de leurs niveaux et des contraintes. Ces données suffisent à exécuter les essais, puis à estimer des effets et à ajuster un modèle dans le domaine étudié. L'ordre matériel d'exécution peut varier sans changer les combinaisons qui définissent le plan.

Un atelier étudie la résistance d'une pièce après cuisson. Deux facteurs sont testés : la température, à 180 °C ou 200 °C, et la durée, à 20 min ou 30 min. La réponse est la résistance mesurée en mégapascals. Les quatre mesures sont 42, 50, 46 et 58 MPa selon les combinaisons présentées dans la matrice.

La matrice rend visibles les quatre essais : aucune combinaison des deux niveaux n'est omise. Elle permet aussi de refaire séparément chaque comparaison de moyennes.

1. À 200 °C, la résistance moyenne vaut (46 + 58) / 2 = 52 MPa. À 180 °C, elle vaut (42 + 50) / 2 = 46 MPa. L'effet moyen du passage de 180 °C à 200 °C est donc 52 − 46 = 6 MPa.
2. Sur 30 min, la moyenne vaut (50 + 58) / 2 = 54 MPa. Sur 20 min, elle vaut (42 + 46) / 2 = 44 MPa. L'effet moyen du passage de 20 min à 30 min est donc 10 MPa.
3. L'effet de la durée vaut 8 MPa à 180 °C, mais 12 MPa à 200 °C. La différence montre que les deux facteurs n'agissent pas de manière strictement additive.

Dans ces quatre essais, la plus grande réponse observée est 58 MPa, obtenue à 200 °C pendant 30 min. Le contrôle consiste à recalculer chaque moyenne à partir des deux cases correspondantes ; les valeurs 52, 46, 54 et 44 MPa doivent être retrouvées.

En conception, l'équipe fixe les facteurs modifiables, la réponse attendue et les contraintes avant de fabriquer les prototypes. Un plan d'expérience est utile lorsque plusieurs réglages peuvent agir ensemble. Un essai isolé peut convenir à une observation exploratoire ou à un contrôle limité, tandis que même une comparaison unique peut exiger plusieurs observations ou répétitions.

En amélioration de la qualité, les essais sont organisés pour attribuer une variation de la réponse aux facteurs étudiés. Si les conditions de production changent sans contrôle, il faut d'abord les stabiliser ou les intégrer comme facteurs.

Au laboratoire, la matrice d'essais sert de feuille de route : chaque ligne indique les niveaux à appliquer et la réponse à mesurer. Lorsque toutes les combinaisons seraient trop nombreuses, une stratégie réduite peut être choisie, au prix d'informations moins complètes.

Expérience isolée. Une expérience produit une observation dans des conditions données ; le plan d'expérience organise un ensemble de conditions pour rendre les comparaisons interprétables. Tester seulement 180 °C pendant 20 min constitue un essai, pas le plan à quatre combinaisons de l'exemple.

Étude observationnelle. Dans un plan d'expérience, les niveaux des facteurs sont choisis et appliqués selon une stratégie. Lorsque le chercheur observe seulement des conditions déjà présentes sans les fixer, il mène une étude observationnelle.

Modèle statistique. Le plan décrit quels essais sont réalisés ; le modèle est construit ensuite à partir des réponses. La grille de quatre réglages est le plan, tandis qu'une relation estimant la résistance est un résultat de l'analyse.

Extrapolation hors du domaine. Les quatre essais couvrent seulement 180 à 200 °C et 20 à 30 min. Une prédiction à 220 °C ou 40 min sort du domaine observé ; elle exige de nouveaux essais ou des hypothèses supplémentaires.

Interaction ignorée. Dans l'exemple, prolonger la cuisson ajoute 8 MPa à 180 °C mais 12 MPa à 200 °C. Deux effets différents selon le niveau de l'autre facteur signalent une interaction ; additionner seulement les effets moyens masque cette dépendance.

Variabilité non estimée. Un seul résultat par combinaison ne sépare pas l'effet des facteurs de la variabilité propre aux mesures ou au processus. Il faut répéter certains essais lorsque l'incertitude doit être estimée, puis comparer les écarts à cette variabilité plutôt qu'à zéro.

Facteur oublié. Si l'humidité varie en même temps que la température sans être contrôlée, l'effet attribué à la température peut être trompeur. Il faut maintenir cette grandeur stable, la mesurer ou l'intégrer au plan comme facteur.

La Régression linéaire prolonge l'analyse en reliant une réponse quantitative à des variables explicatives et en donnant une forme au modèle ajusté.