Probabilités et statistiquesOutil · Glossaire
table de Yates
La table de Yates est un tableau utilisé dans le cadre de la planification d'expériences. Elle s'applique aux plans factoriels complets ne comportant que des facteurs à deux niveaux — généralement notés −1 et +1, ou 0 et 1 — et fournit une représentation systématique de l'ensemble des combinaisons possibles des niveaux de ces facteurs. Elle permet ainsi d'organiser les essais expérimentaux et de préparer le calcul des effets principaux et des interactions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les lignes et colonnes d'une table de Yates.
- Vérifier le nombre de combinaisons d'un plan complet.
- Calculer une moyenne, des effets principaux et une interaction sur un exemple.
En clair
Imaginez une expérience où deux réglages peuvent chacun être bas ou haut. Il faut alors tester les quatre couples possibles, sans en oublier un. La table de Yates les range dans un tableau régulier : chaque ligne correspond à un essai et chaque colonne à un facteur ou à une combinaison de facteurs.
Les niveaux sont souvent codés −1 et +1. Cette organisation permet ensuite de comparer les résultats des essais et de voir si un réglage agit seul ou si son effet dépend de l'autre.
Définition
Une table de Yates est une représentation ordonnée d'un plan factoriel complet à deux niveaux. Un facteur est une variable expérimentale réglée à deux valeurs ; les niveaux sont généralement codés −1 et +1, ou 0 et 1. Avec k facteurs, la table comporte toutes les 2k combinaisons, chacune correspondant à un essai.
Les colonnes décrivent d'abord les facteurs, puis peuvent représenter leurs produits codés, comme AB pour l'interaction entre A et B. Ces colonnes servent à organiser les contrastes et à préparer le calcul de l'effet principal de chaque facteur ainsi que des interactions. Le plan est dit complet parce qu'aucune combinaison de niveaux n'est omise.
La table ne fournit pas à elle seule une conclusion expérimentale : elle ordonne les essais et les colonnes de calcul. Les résultats observés, les hypothèses statistiques et la manière d'estimer l'incertitude doivent être ajoutés séparément.
Où on le rencontre
On rencontre une table de Yates dans le cahier ou le logiciel qui prépare une expérience planifiée. Elle se reconnaît à ses lignes d'essais et à ses colonnes de réglages codés, souvent −1 et +1.
Pour deux facteurs, quatre lignes présentent les couples (−1,−1), (+1,−1), (−1,+1) et (+1,+1). Une colonne supplémentaire peut porter la réponse mesurée, tandis que les colonnes AB et autres produits codés portent les combinaisons de facteurs utilisées pour les contrastes. Le support décrit donc quelles situations expérimentales doivent être réalisées et comment leurs résultats seront comparés.
Le mode d'emploi
La grandeur lue dans une table de Yates est d'abord le niveau de chaque facteur pour un essai ; la réponse mesurée vient ensuite. La convention la plus courante code le niveau bas par −1 et le niveau haut par +1.
Pour la lire, on identifie les colonnes des facteurs, on suit une ligne pour connaître une combinaison, puis on reporte la réponse observée dans cette même ligne. On peut enfin lire une colonne produit, par exemple AB, en multipliant les deux codes de la ligne.
L'œil peut croire que deux lignes proches décrivent des essais proches. Le code −1 ou +1 est pourtant une convention, pas une distance physique entre réglages. Il faut revenir aux valeurs réelles des facteurs avant d'interpréter un effet.
Un exemple, pas à pas
Une expérience étudie deux facteurs A et B, chacun réglé au niveau −1 ou +1. Les réponses mesurées sont 10, 14, 12 et 20 dans l'ordre des quatre combinaisons du tableau.
Données : A = −1,+1,−1,+1 ; B = −1,−1,+1,+1 ; réponses = 10,14,12,20.
La colonne AB vaut successivement +1,−1,−1,+1, car elle est le produit des codes A et B.
La moyenne vaut (10 + 14 + 12 + 20) / 4 = 14.
L'effet de A vaut ((14 + 20) − (10 + 12)) / 2 = 6.
L'effet de B vaut ((12 + 20) − (10 + 14)) / 2 = 4.
L'effet de AB vaut ((10 + 20) − (14 + 12)) / 2 = 2.
La moyenne vaut (10 + 14 + 12 + 20) / 4 = 14.
L'effet de A vaut ((14 + 20) − (10 + 12)) / 2 = 6.
L'effet de B vaut ((12 + 20) − (10 + 14)) / 2 = 4.
L'effet de AB vaut ((10 + 20) − (14 + 12)) / 2 = 2.
La réponse moyenne est donc 14 unités ; dans ces données, A produit l'effet calculé le plus grand. Le contrôle consiste à vérifier que les quatre réponses ont bien été utilisées une fois et que 10 + 14 + 12 + 20 = 56, soit 4 × 14.
En pratique
Lorsqu'un expérimentateur prépare deux facteurs à deux niveaux, la table de Yates aide à vérifier que les quatre combinaisons sont présentes. Elle est utile si l'objectif est d'étudier simultanément les facteurs plutôt que de modifier un seul réglage à la fois.
Pour coder les essais, on choisit une convention unique, par exemple −1 pour le niveau bas et +1 pour le niveau haut. Le codage 0 et 1 convient aussi, mais les calculs d'effets doivent alors respecter cette convention.
Après les essais, on ajoute les réponses dans les lignes correspondantes. Pour une expérience comportant plus de facteurs, on préfère un tableau ou un logiciel de planification capable de générer les 2k combinaisons sans omission.
À ne pas confondre
Une table de Yates ne se confond pas avec un plan factoriel fractionnaire. Le critère est testable : si toutes les 2k combinaisons sont présentes, le plan est complet ; un plan fractionnaire est un sous-plan délibérément construit selon une sélection de combinaisons, tandis qu'une omission seule peut seulement caractériser un plan incomplet. Par exemple, les quatre lignes sont nécessaires pour un plan complet à deux facteurs.
Elle ne se confond pas non plus avec un tableau de résultats brut. Le premier fixe les combinaisons de niveaux et les colonnes de calcul ; le second peut seulement enregistrer des mesures, sans organiser les facteurs ni leurs interactions.
Limites et pièges
Un facteur à trois niveaux ne relève pas directement du plan décrit ici. Le symptôme est la présence de trois niveaux distincts, qui peuvent être ordonnés ou non ; il faut alors employer un plan adapté à plus de deux niveaux, au lieu de les coder artificiellement comme −1 ou +1.
Un tableau incomplet ne permet pas de parler de plan factoriel complet. Pour k facteurs à deux niveaux, le seuil est exactement 2k combinaisons ; avec deux facteurs, il faut donc quatre essais distincts. Une ligne manquante bloque la représentation complète annoncée.
Les codes −1 et +1 ne sont pas les seules conventions : 0 et 1 sont également employés. Le piège consiste à mélanger les colonnes ou les formules de deux codages ; il faut conserver la convention choisie et distinguer le codage des valeurs physiques.
Enfin, une colonne d'interaction ne prouve pas qu'une interaction existe. Elle prépare seulement une comparaison calculable ; l'existence et l'importance de l'effet demandent l'analyse des réponses et de leur incertitude.
Pour aller plus loin
La table de Yates ouvre vers l'analyse des effets d'un plan factoriel : après avoir organisé les combinaisons, on compare les réponses associées aux niveaux bas et haut. Cette lecture relie la préparation des essais à l'interprétation statistique, tout en laissant séparées la structure du plan et la décision sur la significativité des effets.
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