plan d'expérience complet

Imaginez une expérience où trois réglages peuvent chacun prendre deux états : bas ou haut. Un plan d'expérience complet teste le réglage bas-bas-bas, puis toutes les autres combinaisons, jusqu'au haut-haut-haut. Rien n'est laissé de côté.

Cette exploration systématique permet de comparer séparément l'effet de chaque réglage et l'effet produit par leur association. Elle demande toutefois huit essais dès que trois facteurs ont deux niveaux, car chaque combinaison doit être réalisée.

Un plan d'expérience complet est un dispositif expérimental qui contient une observation pour chaque combinaison des niveaux des facteurs étudiés. Un facteur est une variable contrôlée, et son niveau est l'état choisi pour une expérience. Si le facteur i possède n_i niveaux, le nombre total d'essais requis est le produit de ces nombres :

Ici, k désigne le nombre de facteurs, n_i le nombre de niveaux du facteur i et N le nombre d'essais. Avec k facteurs à deux niveaux, N = 2^k : trois facteurs exigent donc huit essais.

Le plan complet s'applique lorsque l'on veut estimer les effets principaux et leurs interactions sans confondre leurs contributions, et lorsque le nombre d'essais reste réalisable. Un plan fractionnaire ne retient qu'une partie des combinaisons ; il réduit le coût, mais peut introduire une confusion entre effets.

La structure repose sur quatre éléments. Les facteurs sont les réglages étudiés, leurs niveaux sont les valeurs ou états autorisés, les essais sont les réalisations concrètes, et la réponse est la mesure recueillie à chaque essai.

Les niveaux déterminent les combinaisons possibles : modifier le nombre de niveaux modifie directement N. Les facteurs déterminent aussi les interactions, car une interaction décrit un effet qui dépend du niveau pris par un autre facteur. Chaque ligne expérimentale associe donc un niveau de chaque facteur à une réponse.

Lorsque toutes les associations sont présentes une fois, la structure suffit à construire la comparaison statistique des effets principaux et des interactions prévues. Le contenu du plan ne dépend ni de la couleur du tableau ni de l'ordre des essais, mais de la couverture exacte des combinaisons.

Une équipe étudie une réponse en faisant varier trois facteurs, A, B et C. Chaque facteur a deux niveaux, notés bas et haut. L'objectif est de réaliser un plan complet.

Les données sont les suivantes : trois facteurs ; deux niveaux pour A ; deux niveaux pour B ; deux niveaux pour C.

Le nombre de niveaux possibles pour A et B donne 2 × 2 = 4 combinaisons dans chaque état de C.
Les deux états de C donnent 4 × 2 = 8 combinaisons au total.
Les huit essais sont bas-bas-bas, bas-bas-haut, bas-haut-bas, bas-haut-haut, haut-bas-bas, haut-bas-haut, haut-haut-bas et haut-haut-haut.

Le plan est complet parce que chaque choix de A est associé à chaque choix de B et à chacun des deux choix de C. Un contrôle consiste à fixer C : on retrouve quatre couples A-B dans chacun de ses deux états, donc 4 + 4 = 8 essais.

La réponse mesurée sur ces essais peut ensuite être comparée entre niveaux de A, de B et de C, puis entre combinaisons. Ces comparaisons n'exigent pas que les réponses soient identiques ; elles exigent que les réglages prévus soient tous présents.

Pour préparer l'expérience, on liste les facteurs et leurs niveaux, puis on énumère chaque combinaison une seule fois. Une feuille de suivi permet de vérifier qu'aucune ligne ne manque.

Le plan complet est pertinent lorsque les interactions sont importantes ou lorsque leur estimation sans ambiguïté prime sur le nombre minimal d'essais. Si le coût devient trop élevé, un plan fractionnaire constitue l'alternative à examiner, avec une vérification des confusions acceptées.

Avant de lancer les mesures, on contrôle le produit des nombres de niveaux et la présence effective de chaque combinaison. Le nombre calculé ne remplace pas ce contrôle : une ligne dupliquée peut masquer une ligne absente.

Un plan complet ne se confond pas avec un plan fractionnaire. Le critère testable est la couverture : le premier contient toutes les combinaisons prévues, tandis que le second en sélectionne seulement une partie. Pour trois facteurs à deux niveaux, huit lignes attendues mais quatre lignes réalisées tranchent en faveur d'un plan fractionnaire.

Un plan complet ne signifie pas non plus que les facteurs ont chacun une infinité de valeurs. Il est complet relativement aux niveaux choisis ; ajouter un niveau change l'ensemble des combinaisons à réaliser.

Le nombre d'essais croît rapidement. Avec k facteurs à deux niveaux, la relation N = 2^k donne 8 essais pour k = 3, 16 pour k = 4 et 32 pour k = 5. Le seuil pratique dépend ensuite du coût, du temps et des ressources disponibles ; il n'existe pas de seuil universel.

Un plan peut être complet pour les niveaux déclarés tout en étant insuffisant pour une question plus fine. Si un facteur continu n'est observé qu'à deux valeurs, les effets entre ces valeurs ne décrivent pas nécessairement toute son évolution. Il faut alors ajouter des niveaux ou choisir un modèle adapté.

L'exhaustivité du tableau ne supprime pas les biais de mesure, les erreurs d'exécution ou les variations non contrôlées. Une combinaison présente ne garantit donc pas, à elle seule, une conclusion fiable ; la qualité des mesures et les hypothèses statistiques restent à vérifier.

Pour revoir le cadre général et le vocabulaire des facteurs, consultez le plan d'expérience. Vous y gagnerez une vue d'ensemble avant de comparer les dispositifs complets et fractionnaires.

Pour étudier le compromis entre nombre d'essais et confusion possible, poursuivez avec le plan d'expérience fractionnaire. Vous verrez ce que l'on économise en ne testant qu'une partie des combinaisons.