plan d'expérience fractionnaire

Une équipe veut tester trois réglages, chacun à deux niveaux. Essayer toutes les combinaisons demanderait huit expériences. Un plan fractionnaire n'en conserve que quatre, choisies selon une règle qui équilibre les niveaux de chaque réglage. On peut ainsi comparer l'effet moyen de chaque facteur avec deux fois moins d'essais. Cette économie a une contrepartie : certains effets se superposent et ne peuvent plus être séparés sans hypothèse ou expérience supplémentaire.

Un plan factoriel fractionnaire est un sous-ensemble structuré d'un plan factoriel complet. Les facteurs sont les grandeurs que l'on fait varier ; leurs niveaux sont les valeurs testées ; la réponse est la grandeur mesurée après chaque essai. Avec k facteurs à deux niveaux, le plan complet comporte 2^k combinaisons. Un plan régulier peut n'en retenir qu'une fraction 1/2^p, où p est le nombre de divisions successives par deux. Il comporte alors 2^k−p essais.

La sélection repose sur une ou plusieurs relations génératrices. Pour trois facteurs codés A, B et C par les niveaux −1 et +1, la relation suivante définit un demi-plan :

Cette relation conserve quatre combinaisons sur huit et équilibre chaque niveau. En revanche, l'effet estimé de A est confondu avec l'interaction entre B et C ; de même, B l'est avec A×C, et C avec A×B. Le plan permet donc d'identifier les effets principaux seulement si les interactions qui leur sont associées sont négligeables, ou si des essais supplémentaires les séparent. Les tables orthogonales employées dans la méthode de Taguchi fournissent une autre manière structurée d'organiser un nombre réduit d'essais.

Un plan fractionnaire réunit cinq éléments. Les facteurs désignent les réglages étudiés. Leurs niveaux, souvent codés −1 et +1, fixent les valeurs effectivement essayées. La fraction indique combien de combinaisons du plan complet sont conservées. La relation génératrice sélectionne ces combinaisons et détermine les confondements. Enfin, la réponse est mesurée pour chaque essai. Les niveaux donnent les lignes possibles, tandis que la relation génératrice décide quelles lignes sont réalisées. Les réponses obtenues servent ensuite à estimer des effets, mais l'interprétation dépend directement des confondements imposés par la fraction. L'ordre d'exécution des essais peut être randomisé sans changer la structure mathématique du plan.

Une équipe étudie un rendement. Le facteur A est la température, à 20 °C ou 30 °C. Le facteur B est la durée, à 10 min ou 20 min. Le facteur C est le catalyseur, absent ou présent. Les niveaux bas et haut sont codés −1 et +1. Le demi-plan suit $C=A\times BC=A\backslash times\; B$. Les quatre rendements mesurés sont 42 % pour (−1, −1, +1), 54 % pour (−1, +1, −1), 50 % pour (+1, −1, −1) et 68 % pour (+1, +1, +1).

1. Au niveau haut de A, la moyenne vaut (50 + 68) / 2 = 59 %.
2. Au niveau bas de A, elle vaut (42 + 54) / 2 = 48 %.
3. L'effet estimé de A vaut donc 59 − 48 = 11 points de pourcentage.
4. Le contrôle consiste à refaire les deux moyennes avec deux observations chacune : les quatre mesures sont utilisées une seule fois. Le résultat de 11 points mêle toutefois l'effet de la température et l'interaction B×C ; le plan seul ne les sépare pas.

Lorsqu'un prototype coûte cher à fabriquer, l'équipe retient une fraction qui estime d'abord les effets jugés importants. Un plan complet reste préférable si toutes les interactions doivent être distinguées.

Pour cribler de nombreux réglages, le plan fractionnaire sert à repérer ceux qui modifient le plus la réponse. Les facteurs retenus peuvent ensuite faire l'objet d'un plan plus détaillé.

Avant les essais, on choisit les effets à ne pas confondre et on examine la structure d'alias. Si une interaction plausible partage le même contraste qu'un effet essentiel, il faut changer de fraction ou ajouter des essais.

Plan factoriel complet. Il réalise toutes les combinaisons des niveaux. Avec trois facteurs à deux niveaux, il demande huit essais, contre quatre pour le demi-plan de l'exemple.

Échantillonnage aléatoire. Il tire des observations dans une population. Un plan fractionnaire choisit au contraire des combinaisons de facteurs selon une structure déterminée, même si leur ordre d'exécution est ensuite randomisé.

Méthode de Taguchi. Elle utilise notamment des tables orthogonales et s'intéresse souvent à la robustesse aux facteurs de bruit. Un plan factoriel fractionnaire régulier n'est donc pas automatiquement un plan de Taguchi.

Confondement invisible. Dans le demi-plan à trois facteurs, un effet principal et une interaction à deux facteurs produisent exactement le même contraste. Un effet estimé élevé ne suffit donc pas à les départager ; il faut une hypothèse justifiée ou des essais complémentaires.

Fraction trop petite. Passer de huit à quatre essais économise 50 % des combinaisons, mais crée les alias A avec B×C, B avec A×C et C avec A×B. Si ces interactions sont plausibles, ce demi-plan ne répond pas seul à la question.

Absence d'estimation de l'erreur. Un seul passage par combinaison ne mesure pas la variabilité entre répétitions. On ajoute des répétitions, des points de contrôle ou un modèle d'erreur adapté avant de conclure sur la précision.

Ordre des essais. Une dérive de température, d'usure ou de matière peut imiter un effet si les essais suivent un ordre fixe. La randomisation ou un blocage explicite limite cette confusion sans modifier les combinaisons retenues.

L'étape suivante consiste à étudier la résolution d'un plan, qui indique quels ordres d'effets peuvent être confondus. On peut aussi compléter une fraction par une fraction associée : les nouveaux essais rompent certains alias et permettent de vérifier si un effet attribué à un facteur provenait en réalité d'une interaction.