Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
Neyman-Pearson (théorème de)
Quand deux hypothèses simples H0 et H1 décrivent entièrement les observations, le théorème de Neyman-Pearson désigne, parmi les tests de niveau alpha, celui qui détecte le mieux H1. La règle rejette H0 lorsque les données sont suffisamment plus vraisemblables sous H1 que sous H0. Cette optimalité vaut pour la paire d'hypothèses considérée ; le rapport de vraisemblance et le choix du seuil sont développés dans la suite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier niveau, puissance et rapport de vraisemblance.
- Construire la région critique entre deux hypothèses simples.
- Recalculer un test binomial de niveau 0,05792 et de puissance 0,68256.
- Distinguer optimalité simple et optimalité uniforme.
En clair
Imaginez cinq essais donnant chacun un succès ou un échec. Deux explications sont en concurrence : la première prévoit peu de succès, la seconde en prévoit davantage. Avant d'observer les résultats, on limite le risque de rejeter la première à tort.
Le théorème de Neyman-Pearson indique alors la meilleure règle pour détecter la seconde explication. On compare la probabilité des données selon chacune d'elles. Si les données favorisent assez fortement la seconde, on rejette la première. Parmi toutes les règles respectant le même risque maximal, aucune ne détecte plus souvent cette alternative précise.
Définition
Le théorème de Neyman-Pearson compare deux hypothèses simples : l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H1. « Simple » signifie que chacune fixe entièrement la loi des observations, sans laisser de paramètre inconnu. Un test est de niveau α si, lorsque H0 est vraie, sa probabilité de rejeter H0 ne dépasse pas α. Sa puissance sous H1 est la probabilité de rejeter H0 lorsque H1 est vraie.
Pour une observation notée x, la vraisemblance sous H0 est notée L0(x), et celle sous H1, L1(x). Leur rapport mesure combien les données favorisent l'alternative : . Le test rejette H0 pour les grandes valeurs de ce rapport. Le seuil est choisi afin de respecter le niveau α ; une randomisation sur la frontière peut être nécessaire dans un modèle discret.
Parmi tous les tests de niveau au plus α, cette règle maximise la puissance contre l'alternative simple H1 fixée. Elle est donc dite la plus puissante pour cette paire d'hypothèses. L'expression « uniformément le plus puissant » demande davantage : elle concerne habituellement toute une famille d'alternatives et ne découle pas automatiquement du cas simple contre simple.
Le principe
Si H0 et H1 fixent deux lois simples, alors, parmi les tests dont le risque de première espèce ne dépasse pas α, un test le plus puissant rejette H0 quand :
La constante c est choisie pour obtenir le niveau voulu. Sur l'ensemble où le rapport vaut exactement c, le test peut rejeter avec une probabilité intermédiaire afin d'atteindre exactement α. Toute autre règle de même niveau a une puissance sous H1 inférieure ou égale.
Quand l'utiliser
Le résultat s'applique lorsque H0 et H1 déterminent chacune une loi complète pour les mêmes observations. Il faut pouvoir calculer leurs vraisemblances par rapport à une même mesure de référence. Le niveau maximal α doit être fixé avant de choisir la région de rejet. On obtient alors une règle optimale contre cette alternative précise.
Si l'hypothèse alternative autorise, par exemple, toutes les probabilités de succès supérieures à 0,2, elle n'est plus simple. Le théorème appliqué à une seule valeur, comme 0,6, n'établit pas à lui seul qu'un même test est optimal pour toutes les autres valeurs. Il faut alors chercher un test uniformément le plus puissant sous des conditions supplémentaires, ou adopter un autre critère de comparaison.
Un exemple, pas à pas
Une expérience comporte cinq essais indépendants. Sous H0, la probabilité de succès à chaque essai vaut 0,2 ; sous H1, elle vaut 0,6. Le nombre total de succès est noté K. On accepte un niveau maximal de 0,06.
1. Pour K = k succès, les facteurs combinatoires sont identiques sous les deux hypothèses. Le rapport de vraisemblance se simplifie en : . Il augmente avec k.
2. Un seuil placé entre les rapports obtenus pour k = 2 et k = 3 conduit à rejeter H0 lorsque K vaut 3, 4 ou 5.
3. Sous H0, la probabilité de cette région critique est : . Le niveau est donc bien inférieur à 0,06.
4. Sous H1, la puissance vaut : . Le test détecte donc cette alternative dans 68,256 % des expériences.
Le contrôle se refait en additionnant les probabilités des trois issues K = 3, 4 et 5 sous chaque loi. Leur représentation montre que la région de rejet retient les nombres de succès nettement plus compatibles avec H1.
En pratique
Pour construire le test, on écrit d'abord les deux modèles simples et le risque maximal de fausse alerte. On calcule ensuite le rapport de vraisemblance pour chaque issue et on retient celles qui favorisent le plus H1, jusqu'à respecter le niveau.
Dans un modèle discret, les probabilités disponibles arrivent par paliers. Si aucune région non randomisée n'atteint exactement α, on accepte un niveau strictement plus petit ou on randomise sur une issue frontière.
Quand l'une des hypothèses contient plusieurs valeurs possibles d'un paramètre, le calcul simple contre simple ne suffit plus. On vérifie alors si une structure particulière fournit un test uniformément le plus puissant ; sinon, on compare d'autres procédures selon un critère annoncé.
À ne pas confondre
Test de Neyman-Pearson et estimation par maximum de vraisemblance. Le premier choisit entre deux lois fixées en contrôlant un risque ; la seconde choisit une valeur de paramètre qui rend les données les plus vraisemblables. Avec une probabilité inconnue, produire une estimation n'est pas encore définir une région de rejet.
Rapport de vraisemblance et valeur p. Le rapport compare directement deux hypothèses précisées. Une valeur p mesure, sous H0, à quel point une statistique est au moins aussi extrême que celle observée. Un grand rapport n'est donc pas, en général, la valeur p correspondante.
Test le plus puissant et test uniformément le plus puissant. Le premier optimise la puissance pour une alternative donnée. Le second doit rester optimal pour chaque loi d'une famille d'alternatives. Comparer H0 à la seule valeur 0,6 établit le premier résultat, pas automatiquement le second.
Limites et pièges
Niveau discret inaccessible. Dans l'exemple, rejeter à partir de trois succès donne 0,05792, tandis qu'ajouter les cas à deux succès ferait monter le risque à 0,26272. Pour atteindre exactement 0,06, il faudrait randomiser sur la frontière ; sinon, le test reste seulement de niveau au plus 0,06.
Hypothèse composite. Si H1 couvre plusieurs lois, le test optimal contre l'une d'elles peut perdre son avantage contre une autre. Le symptôme est un paramètre encore libre dans l'énoncé. Il faut alors prouver une optimalité uniforme ou annoncer un autre critère.
Vraisemblance nulle. Si L0(x) = 0 alors que L1(x) est positive, le rapport ordinaire n'est pas fini. Cette issue favorise entièrement H1 et appartient à la région de rejet ; il ne faut pas la supprimer comme une division impossible.
Égalité au seuil. Les conventions « strictement supérieur » et « supérieur ou égal » diffèrent lorsqu'une masse de probabilité se trouve sur la frontière. La probabilité de rejet sur cette frontière doit être précisée pour connaître le niveau exact.
Pour aller plus loin
Rapport de vraisemblance — Approfondir la quantité qui ordonne les observations de la plus favorable à H0 à la plus favorable à H1.
maximum de vraisemblance — Distinguer le choix d'un paramètre par estimation du choix entre deux hypothèses par un test.
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