AnalyseNotion · Glossaire
élasticité - mécanique -
L’élasticité mécanique est la capacité d’un matériau à se déformer sous une contrainte puis à retrouver sa forme initiale lorsqu’elle disparaît, tant que sa limite d’élasticité n’est pas dépassée. Dans le modèle linéaire des petites déformations, la contrainte est proportionnelle à la déformation. Pour un matériau homogène et isotrope, le module d’Young et le coefficient de Poisson suffisent à relier allongement et contraction transversale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer contrainte et déformation.
- Relier une traction au module d'Young et au coefficient de Poisson.
- Calculer l'allongement et la contraction latérale d'une barre idéalisée.
- Reconnaître les limites du modèle élastique linéaire.
En clair
Tirez doucement sur une règle souple : elle s'allonge un peu, s'amincit légèrement, puis reprend sa forme lorsque vous la relâchez. Cette réponse réversible est le domaine de l'élasticité mécanique.
La force appliquée se traduit par une contrainte dans le solide ; le changement relatif de longueur ou de forme est une déformation. Dans le modèle linéaire, doubler la contrainte double la petite déformation. Cette image cesse d'être valable si la limite d'élasticité est franchie.
Définition
L'élasticité mécanique décrit la réponse réversible d'un solide : après suppression des actions qui le déforment, il retrouve sa forme initiale. Dans le cadre linéaire des petites déformations, la contrainte et la déformation sont proportionnelles. En traction suivant un axe, la contrainte normale, notée σ, est reliée à la déformation longitudinale, notée ε, par le module d'Young, noté E : .
La déformation ε est le rapport entre la variation de longueur et la longueur initiale ; elle n'a pas d'unité. Le module E a la même unité que la contrainte, le pascal. Lorsqu'une traction allonge le solide, sa dimension transversale varie aussi. Le coefficient de Poisson, noté ν, est l'opposé du rapport entre la déformation transversale εt et la déformation longitudinale ε : .
Pour un matériau homogène et isotrope en élasticité linéaire, E et ν suffisent à décrire cette relation. Cette formulation suppose de petites déformations et reste valable seulement dans le domaine élastique. Les fondements historiques mentionnés dans la définition de référence sont associés à Siméon Denis Poisson au XIXe siècle.
Un exemple, pas à pas
Considérons une barre idéalisée de longueur initiale 100 mm, de largeur initiale 10 mm et de section donnée A = 10 mm2. On choisit un module d'Young E = 200 GPa, un coefficient de Poisson ν = 0,30 et une force de traction F = 1 000 N. La contrainte reste supposée inférieure à la limite d'élasticité.
1. La contrainte est la force divisée par l'aire de la section : .
2. Comme 200 GPa valent 200 000 MPa, la déformation longitudinale vaut exactement, pour ces données, .
3. L'allongement est 100 mm × 0,0005 = 0,05 mm. La longueur sous traction vaut donc 100,05 mm.
4. La déformation transversale vaut −0,30 × 0,0005 = −0,00015. La largeur diminue de 10 mm × 0,00015 = 0,0015 mm et devient 9,9985 mm.
Le schéma rend simultanément visibles l'allongement et le rétrécissement ; les déformations y sont amplifiées 200 fois. Un contrôle direct redonne E = 100 MPa / 0,0005 = 200 000 MPa et ν = −(−0,00015) / 0,0005 = 0,30.
En pratique
Lors d'un essai de traction, on mesure la force et l'allongement d'une éprouvette. Tant que la relation reste proportionnelle et que l'éprouvette reprend sa longueur après décharge, le modèle élastique linéaire convient.
Pour prévoir la petite déformation d'une pièce, on compare d'abord la contrainte attendue à sa limite d'élasticité. Si cette limite risque d'être dépassée, il faut employer un modèle qui prend en compte une déformation non réversible.
Le module d'Young relie la contrainte axiale à la déformation longitudinale, tandis que le coefficient de Poisson relie la déformation longitudinale à la déformation transversale. Leur emploi conjoint suppose notamment que le matériau puisse être traité comme homogène et isotrope.
À ne pas confondre
Élasticité et plasticité. Une déformation élastique disparaît après décharge ; une déformation plastique persiste. Une barre qui reste allongée lorsque la force est supprimée ne relève donc plus du seul modèle élastique.
Contrainte et déformation. La contrainte mesure l'intensité des actions internes par unité de surface et s'exprime en pascals. La déformation mesure un changement relatif de dimension et n'a pas d'unité. Dans l'exemple, 100 MPa est une contrainte, tandis que 0,0005 est une déformation.
Module d'Young et coefficient de Poisson. Le premier relie la contrainte axiale à l'allongement relatif ; le second relie les déformations transversale et longitudinale. Ils n'ont ni le même rôle ni la même unité.
Limites et pièges
Limite d'élasticité franchie. Si une déformation subsiste après suppression de la contrainte, la réversibilité exigée n'est plus observée. Il faut alors quitter le seul modèle élastique présenté ici.
Petites déformations. Dans l'exemple conducteur, l'allongement relatif est 0,0005, soit 0,05 %. Si les changements de forme ne sont plus petits, la relation linéaire et la géométrie initiale ne suffisent plus sans vérification.
Deux constantes ne suffisent pas toujours. Le couple formé par le module d'Young et le coefficient de Poisson caractérise le comportement linéaire d'un matériau homogène et isotrope. Si la réponse dépend de la direction, il faut davantage de paramètres.
Proportionnalité non vérifiée. Le simple retour à la forme initiale ne garantit pas à lui seul la linéarité. Si doubler la contrainte ne double pas la déformation, un modèle élastique non linéaire peut être nécessaire.
Pour aller plus loin
Le passage d'une traction suivant un axe à un état de contrainte dans plusieurs directions conduit à décrire contraintes et déformations par des tenseurs. La loi élastique relie alors leurs composantes.
Dans le cas homogène et isotrope, le module d'Young et le coefficient de Poisson peuvent être remplacés par d'autres couples de constantes élastiques équivalentes. Le choix dépend du type de calcul, sans changer le comportement physique décrit.
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