plan horizontal

Imaginez une plaque transparente posée parallèlement à une table. Un rectangle tracé sur la plaque peut être reporté sur la table en abaissant chacun de ses points à la verticale. Le dessin obtenu conserve alors sa forme et ses dimensions : un côté de 4 cm reste long de 4 cm, et un côté de 2 cm reste long de 2 cm.

En géométrie descriptive, la plaque joue le rôle du plan horizontal et la table celui du plan de projection horizontal. Leur parallélisme explique l’absence de déformation lors d’une projection perpendiculaire au plan de référence.

En géométrie descriptive, un plan horizontal est un plan parallèle au plan de projection horizontal, qui sert de plan de référence. Si ce plan de référence est noté H, tout plan P parallèle à H est horizontal, quelle que soit sa distance à H. Une figure contenue dans P est projetée sur H suivant des droites perpendiculaires à H.

Dans un repère orthonormé dont le plan des deux premiers axes est H, ce dernier a pour équation z = 0. Un plan horizontal P a pour équation z = h, où le nombre h fixe sa hauteur. La projection d’un point de coordonnées (x, y, h) garde ses deux premières coordonnées : $(x,y,h)\mapsto (x,y,0)(x,y,h)\backslash mapsto(x,y,0)$. Deux points de P conservent donc leur distance, et les angles de la figure sont conservés. La projection donne sa vraie grandeur.

Cette propriété suppose à la fois que la figure soit contenue dans un plan parallèle à H et que la projection soit perpendiculaire à H. En astronomie, le plan horizontal est le plan de l’horizon local de l’observateur, perpendiculaire à sa verticale locale ; il ne se confond pas avec le plan équatorial terrestre.

La configuration réunit quatre éléments. Le plan de référence H reçoit la représentation plane. Le plan P contient l’objet à représenter et doit être parallèle à H. Les droites projetantes, perpendiculaires à H, associent chaque point de P à un point de H. Enfin, la figure est l’ensemble des points effectivement projetés.

Le parallélisme de P et H, combiné à la perpendicularité des projetantes, assure la conservation des longueurs et des angles dans P. Translater P perpendiculairement à H, sans déplacer la figure dans P, change sa hauteur mais pas son image sur H. En revanche, incliner P change la projection. La couleur, l’épaisseur du tracé et l’échelle du dessin ne définissent pas le plan horizontal. Ces données suffisent à construire point par point la projection et à lire les dimensions réelles de la figure.

On travaille dans un repère orthonormé dont le plan des deux premiers axes est le plan de référence H, d’équation z = 0. Le plan P a pour équation z = 3. Il contient un rectangle de sommets A(0, 0, 3), B(4, 0, 3), C(4, 2, 3) et D(0, 2, 3). L’unité du repère est le centimètre, donc ses côtés mesurent 4 cm et 2 cm.

1. Les quatre sommets ont la même troisième coordonnée, égale à 3. Ils appartiennent donc tous au plan P, parallèle à H.

2. La projection perpendiculaire remplace cette troisième coordonnée par 0. On obtient A′(0, 0, 0), B′(4, 0, 0), C′(4, 2, 0) et D′(0, 2, 0).

3. Sur H, la longueur A′B′ vaut 4 cm et la longueur B′C′ vaut 2 cm. Les côtés restent perpendiculaires : l’image est encore un rectangle de 4 cm sur 2 cm.

4. L’aire projetée vaut donc 4 × 2 = 8 cm², exactement comme l’aire initiale. Pour contrôler le résultat, on vérifie que seules les coordonnées z ont changé entre chaque sommet et son image.

En dessin technique, une face placée dans un plan horizontal apparaît en vraie grandeur sur la vue horizontale. On peut y lire directement ses longueurs et ses angles. Si la face est inclinée, cette lecture directe n’est plus valable ; une vue auxiliaire parallèle à la face devient préférable.

Pour construire la projection, on vérifie d’abord que tous les points de la figure ont la même hauteur. On les reporte ensuite le long de projetantes perpendiculaires au plan de référence. Si les hauteurs diffèrent, la figure n’est pas contenue dans un plan horizontal.

Dans un texte d’astronomie, le mot demande un autre réflexe : il faut identifier l’horizon de l’observateur et sa verticale locale. Le plan horizontal local est perpendiculaire à cette verticale ; le contexte permet alors de choisir ce sens plutôt que celui de la géométrie descriptive.

Un plan frontal est parallèle au plan de projection frontal, tandis qu’un plan horizontal est parallèle au plan de projection horizontal. Le critère est le plan de référence auquel on compare le parallélisme : une face vue en vraie grandeur de face relève du plan frontal, pas du plan horizontal.

Un plan vertical contient une direction perpendiculaire au plan horizontal de référence ; il n’est donc pas parallèle à ce dernier. Une paroi dressée verticalement fournit un cas qui tranche, alors qu’un plateau parallèle au sol de référence relève du plan horizontal.

La projection horizontale est l’opération ou l’image obtenue sur le plan horizontal de référence. Le plan horizontal P est, lui, le support parallèle qui contient la figure avant projection. La première relie des points à leurs images ; le second décrit une position dans l’espace.

Une forme qui semble horizontale sur la page ne suffit pas. Le mot décrit un parallélisme dans l’espace avec un plan de référence déclaré. Il faut donc vérifier la référence et non l’apparence du tracé.

L’absence de déformation n’est garantie que pour une projection perpendiculaire du plan P vers le plan H qui lui est parallèle. Avec une direction oblique, ou si P est incliné, la figure peut changer de longueurs ou d’angles ; il faut alors étudier la transformation employée.

Dans la configuration où H est sous l’objet et l’axe vertical orienté vers le haut, la hauteur h est positive. Le cas charnière h = 0 fait coïncider P avec H, si l’on admet qu’un plan est parallèle à lui-même ; la projection laisse alors chaque point à sa place. Pour h > 0, sa valeur ne change pas la forme projetée.

Le sens du mot varie avec le domaine. En géométrie descriptive, la référence est le plan de projection horizontal situé sous l’objet représenté. En astronomie, la référence est l’horizon local de l’observateur, perpendiculaire à sa verticale locale. Il faut annoncer le domaine avant de tirer une conclusion géométrique.

La fiche projection élargit le point de vue à l’opération qui associe un objet à son image sur un support.

Le plan frontal permet de comparer deux orientations fondamentales de la géométrie descriptive et leurs plans de projection respectifs.

L’équateur précise le cercle terrestre dont le plan sert de référence au système équatorial, à distinguer du plan horizontal local de l’observateur.