point de fuite

Regardez deux rails rectilignes qui s'éloignent devant vous. Ils restent parallèles dans l'espace, pourtant leur dessin se resserre jusqu'à sembler rejoindre un même point. Ce point apparent est leur point de fuite.

Il dépend à la fois de la direction des rails et de la position de l'œil. Dans une vue frontale, les lignes qui partent droit vers le fond partagent un point de fuite situé sur la ligne d'horizon, à la hauteur des yeux.

Dans une perspective conique, les projections de toutes les droites de l'espace ayant une même direction passent par un même point limite sur le tableau. Lorsque ce point est fini, il est le point de fuite de cette direction. Les droites restent parallèles dans l'espace : leur convergence appartient à l'image.

Notons E le point de vue, Π le plan du tableau et u un vecteur non nul donnant la direction étudiée. Lorsque u n'est pas parallèle à Π, le point de fuite F se construit en traçant par E la droite parallèle à u : F est alors l'unique point de son intersection avec Π, soit $F\in (E+\mathbb{R}u)\cap \mathrm{\Pi }F\backslash in(E+\backslash mathbb\{R\}u)\backslash cap\backslash Pi$. Si u est parallèle à Π, les projections restent parallèles sur le tableau ; en géométrie projective, leur fuite est alors un point à l'infini.

Les directions horizontales ont leurs points de fuite sur la ligne d'horizon, qui représente la hauteur de l'œil dans une vue verticale usuelle. Une perspective frontale emploie un point de fuite principal pour la profondeur. Une vue oblique d'un objet rectangulaire utilise souvent deux points de fuite horizontaux ; une direction verticale fuyante en introduit un troisième.

Construisons l'image frontale de deux rails espacés de 1,50 m. Le tableau vertical Π est le plan d'équation x = 0. L'œil E se trouve 2 m devant le tableau et 1,60 m au-dessus du sol. Le schéma matérialise la construction obtenue.

Données.
Point de vue : E = (−2 ; 0 ; 1,60), en mètres.
Direction des rails : u = (1 ; 0 ; 0).
Tableau : Π d'équation x = 0.
Rails au sol : y = −0,75 m et y = 0,75 m, avec z = 0.

Étape 1. La droite menée par l'œil parallèlement aux rails a pour points E + t·u, où le nombre réel t mesure l'avancée dans la direction u. Sa coordonnée x vaut −2 + t.

Étape 2. L'intersection avec Π impose −2 + t = 0, donc t = 2. Les autres coordonnées ne changent pas : le point de fuite est F = (0 ; 0 ; 1,60), en mètres. Il se trouve sur la ligne d'horizon z = 1,60 m.

Étape 3. Chaque rail coupe le tableau au niveau du sol : A_g = (0 ; −0,75 ; 0) et A_d = (0 ; 0,75 ; 0). dans l’illustration, leurs projections sont donc les deux droites reliant A_g à F et A_d à F.

Contrôle. Les deux rails ont le même vecteur directeur u ; ils doivent donc partager F. De plus, la hauteur de F vaut 1,60 m, exactement celle de E : ce second contrôle place bien F sur l'horizon.

Pour construire un croquis frontal, commencez par fixer la ligne d'horizon à la hauteur de l'œil, puis placez le point de fuite de la profondeur. Les arêtes qui s'éloignent droit devant rejoignent ce point ; les arêtes parallèles au tableau restent parallèles dans la représentation.

Pour analyser une photographie, prolongez deux images de lignes que vous savez parallèles dans la scène, par exemple les bords d'une voie. Leur intersection estime le point de fuite de cette direction. Choisissez une autre paire si les lignes sont trop courtes ou presque parallèles dans l'image.

Pour dessiner un objet vu de biais, un seul point ne suffit généralement plus. Employez deux points de fuite lorsque deux familles d'arêtes horizontales s'éloignent dans des directions différentes ; ajoutez un troisième point seulement si les verticales fuient elles aussi.

Point de fuite et point de vue. Le point de vue E est la position de l'œil dans l'espace ; le point de fuite F appartient au tableau. Dans l'exemple, E = (−2 ; 0 ; 1,60), tandis que F = (0 ; 0 ; 1,60).

Point de fuite et ligne d'horizon. Un point de fuite correspond à une direction précise. La ligne d'horizon rassemble les points de fuite des directions horizontales. Un point isolé ne peut donc pas remplacer toute la ligne.

Convergence apparente et intersection réelle. Deux rails parallèles ne se rencontrent pas dans l'espace. Ce sont leurs projections sur le tableau qui passent par le même point F ; mesurer l'écartement réel des rails confirme qu'il reste constant.

Direction parallèle au tableau. La droite menée par l'œil dans cette direction ne coupe pas Π en un point fini. Le symptôme est simple : les projections restent parallèles. Il ne faut pas leur imposer une intersection dans la représentation ; la géométrie projective parle d'un point à l'infini.

Familles de directions différentes. Des droites parallèles entre elles partagent un point de fuite, mais deux directions distinctes ont en général deux fuites distinctes. Dans une vue oblique d'un pavé, forcer toutes les arêtes horizontales vers un seul point produit une perspective frontale incohérente avec la vue choisie.

Horizon et inclinaison de l'image. Dans la vue verticale usuelle de l'exemple, l'horizon est une droite horizontale à 1,60 m. Si le tableau ou l'appareil est incliné, la ligne de fuite du plan horizontal peut apparaître inclinée dans l'image. Il faut alors la reconstruire avec plusieurs directions horizontales de la scène.

Données presque parallèles dans une photographie. Quand deux segments convergent sous un angle très faible, leur intersection calculée peut se trouver très loin et devenir instable. Il faut prolonger des segments plus longs ou croiser plusieurs lignes de la même famille avant de retenir le point.

La perspective conique replace le point de fuite dans la construction complète d'une image depuis un centre de projection.

La géométrie projective prolonge cette construction en donnant un sens précis aux points à l'infini et aux directions parallèles au tableau.