Porte-manteau (théorème du)
Le théorème du porte-manteau caractérise la convergence en loi (convergence faible) des mesures de probabilité de plusieurs façons équivalentes. Il affirme notamment que la convergence en loi d'une suite de mesures vers une mesure limite est équivalente à la convergence des espérances de toute fonction continue bornée, aux inégalités liminf μₙ(G) ≥ μ(G) pour tout ouvert G, ou aux inégalités limsup μₙ(F) ≤ μ(F) pour tout fermé F. Ce théorème est fondamental en théorie des probabilités et dans l'étude des processus stochastiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les critères équivalents par fonctions continues bornées, ouverts et fermés.
- Savoir quand la probabilité d’un ensemble converge grâce à sa frontière.
- Vérifier le théorème sur les masses concentrées en 1/n qui tendent vers 0.
- Distinguer convergence en loi, convergence en probabilité et convergence presque sûre.
En clair
Imaginez un point placé en 1, puis en 1/2, en 1/3, et ainsi de suite. Sa position se rapproche de 0. Le théorème du porte-manteau donne plusieurs manières de constater que les lois de probabilité portées par ces points se rapprochent, elles aussi, de la loi concentrée en 0.
On peut observer les moyennes obtenues avec des fonctions continues, ou tester des ensembles ouverts et fermés. Le théorème garantit que ces points de vue racontent la même convergence, avec des précautions sur les frontières.
Définition
Le théorème du porte-manteau, aussi appelé théorème de Portmanteau, caractérise la convergence faible de mesures de probabilité. Dans le cadre usuel d’un espace métrique, on considère une suite de mesures de probabilité μn et une mesure limite μ. La notation μn ⇒ μ signifie que l’intégrale de toute fonction continue et bornée tend vers son intégrale sous μ.
Cette convergence équivaut à deux critères complémentaires. Pour tout ouvert G, la limite inférieure des probabilités μn(G) est au moins μ(G). Pour tout fermé F, la limite supérieure des probabilités μn(F) est au plus μ(F). Ces critères s’écrivent :
Une conséquence pratique concerne tout ensemble mesurable A dont la frontière ne reçoit aucune masse sous μ : si μ(∂A) = 0, alors μn(A) tend vers μ(A). Sans cette condition de frontière, une convergence des probabilités de A n’est pas garantie.
Le principe
Soient μn des mesures de probabilité et μ une mesure de probabilité sur un espace métrique. Si les intégrales sous μn convergent vers l’intégrale sous μ pour toute fonction f continue et bornée, alors les inégalités du porte-manteau valent pour chaque ouvert G et chaque fermé F. Réciproquement, l’une ou l’autre famille complète d’inégalités suffit à retrouver la convergence faible.
Pour tout ensemble mesurable A dont la frontière est de probabilité nulle sous μ, la conclusion se renforce en une convergence ordinaire :
Quand l'utiliser
Le théorème compare une suite μn et une mesure μ définies sur le même espace métrique, toutes de probabilité totale 1. Il faut tester toutes les fonctions continues bornées, ou bien tous les ouverts, ou bien tous les fermés : quelques tests choisis ne suffisent généralement pas. Les critères sur les ouverts et les fermés donnent des inégalités orientées, et non une égalité pour chaque ensemble.
Pour obtenir μn(A) → μ(A) sur un ensemble mesurable A, il faut vérifier que sa frontière porte une probabilité nulle sous μ. Dans l’exemple des masses placées en 1/n, l’ensemble {0} bloque ce raccourci : sa frontière vaut {0}, la mesure limite lui attribue 1, mais chaque μn lui attribue 0. On revient alors aux inégalités sur ouverts et fermés.
Un exemple, pas à pas
Sur la droite réelle, μn est la mesure de probabilité concentrée au point 1/n, tandis que μ est concentrée en 0. L’ensemble ouvert choisi est G = ]−1/2, 1/2[.
Données.
μn({1/n}) = 1.
μ({0}) = 1.
Le point 0 appartient à G, donc μ(G) = 1.
μn({1/n}) = 1.
μ({0}) = 1.
Le point 0 appartient à G, donc μ(G) = 1.
1. Pour n = 1, le point 1 est hors de G. Pour n = 2, le point 1/2 est sur la frontière, donc hors de G.
2. Dès que n ≥ 3, on a 0 < 1/n < 1/2. Le point 1/n appartient alors à G et μn(G) = 1. Ainsi, la limite inférieure de μn(G) vaut 1, comme μ(G).
3. Prenons une fonction continue bornée f. Son intégrale sous μn vaut f(1/n), qui tend vers f(0), l’intégrale sous μ. La figure matérialise le déplacement des masses vers 0 et le franchissement de la frontière de G.
Le contrôle révèle aussi le piège : pour A = {0}, toutes les valeurs μn(A) valent 0 alors que μ(A) = 1. La frontière de A porte toute la masse limite, donc A n’est pas un ensemble de continuité pour μ.
En pratique
Pour établir une convergence en loi, on choisit le critère le plus accessible. Si les espérances de fonctions continues bornées se calculent naturellement, leur convergence donne directement la convergence faible.
Pour calculer la probabilité d’un événement A, on examine sa frontière. Lorsque la loi limite ne lui attribue aucune masse, le théorème autorise le passage à la limite des probabilités. Si la frontière porte de la masse, on conserve plutôt les bornes fournies par des ouverts et des fermés.
Sur la droite réelle, les fonctions de répartition offrent souvent un autre critère : on vérifie leur convergence aux points où la fonction de répartition limite est continue. Cette voie est préférable lorsque les lois sont décrites par leurs répartitions plutôt que par des intégrales.
À ne pas confondre
Convergence en probabilité. Elle compare des variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et mesure directement la probabilité que leur écart dépasse un seuil. La convergence en probabilité entraîne la convergence en loi, mais la réciproque est fausse en général.
Convergence presque sûre. Elle exige que les valeurs observées convergent pour presque toute issue, ce qui est plus fort qu’une simple convergence des lois. Deux variables peuvent avoir exactement la même loi sans être proches issue par issue ; l’égalité des distributions ne suffit donc pas à conclure presque sûrement.
Limites et pièges
Ouvert ou fermé ne signifie pas convergence exacte. Le symptôme est l’usage injustifié d’un signe égal à la limite. Pour un ouvert, on dispose d’une borne inférieure ; pour un fermé, d’une borne supérieure. Une égalité demande notamment un ensemble dont la frontière est de masse limite nulle.
Une frontière chargée peut rompre la convergence. Dans l’exemple μn concentrée en 1/n et μ concentrée en 0, l’ensemble charnière {0} vérifie μn({0}) = 0 pour tout n, mais μ({0}) = 1. Il faut appliquer les inégalités générales plutôt que le critère des ensembles de continuité.
Des tests en nombre fini ne caractérisent pas la convergence. Voir converger quelques espérances ou quelques probabilités ne contrôle pas toutes les fonctions continues bornées. Il faut une famille de tests dont un résultat préalable garantit qu’elle est déterminante, ou utiliser l’un des critères complets du théorème.
Pour aller plus loin
Convergence en loi — Cette fiche replace le théorème dans la notion qu’il caractérise et détaille la lecture probabiliste de la limite.
Convergence en probabilité — Elle précise une convergence plus forte et aide à reconnaître les hypothèses qui relient les deux modes.
Fonction de répartition — Elle développe le critère particulièrement commode sur la droite réelle, aux points de continuité de la loi limite.
Théorème central limite et lois des grands nombres : un grand nombre de lois ! — L’article montre un contexte majeur où une suite de lois converge vers une loi limite.
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