problème de Galilée

Prenez une feuille rectangulaire et roulez-la pour fermer un cylindre. Un premier roulage utilise le grand côté comme hauteur : le cylindre devient long et étroit. En tournant la feuille, le petit côté devient hauteur et le cylindre devient court et large. La feuille est la même, mais le second cylindre a un rayon plus grand. Sa base gagne alors plus d'aire, et cette différence dépasse la perte de hauteur. Les deux volumes ne sont donc pas égaux.

Le problème de Galilée est une comparaison de volumes construits à partir d'une feuille rectangulaire de longueur L et de largeur l. Dans le premier cylindre, la longueur L devient la hauteur et la largeur l devient la circonférence de la base. Dans le second, la largeur l devient la hauteur et la longueur L devient la circonférence. Les deux cylindres sont droits et leur base est circulaire.

Si r désigne le rayon de la base et h sa hauteur, le volume d'un cylindre vaut $V=\pi r^{2}hV=\backslash pi\; r^2h$. Comme une circonférence de longueur c vérifie $2\pi r=c2\backslash pi\; r=c$, le premier volume est $V_1=\frac{l^{2}L}{4\pi }V\_1=\backslash frac\{l^2L\}\{4\backslash pi\}$ et le second est $V_2=\frac{L^{2}l}{4\pi }V\_2=\backslash frac\{L^2l\}\{4\backslash pi\}$. Pour L supérieur à l, le cylindre court et large est donc le plus volumineux.

Considérons une feuille de 12 cm sur 8 cm. Le premier cylindre prend 12 cm comme hauteur et 8 cm comme circonférence ; le second prend 8 cm comme hauteur et 12 cm comme circonférence.

Données : L = 12 cm ; l = 8 cm ; π est le nombre qui relie le diamètre et la circonférence d'un cercle.

Pour le cylindre long et étroit, le rayon vaut 8 ÷ (2π) = 4/π cm.
Son volume vaut π × (4/π)² × 12 = 192/π cm³ ≈ 61,12 cm³.
Pour le cylindre court et large, le rayon vaut 12 ÷ (2π) = 6/π cm.
Son volume vaut π × (6/π)² × 8 = 288/π cm³ ≈ 91,67 cm³.

Le second volume est exactement 288/192 = 3/2 fois le premier. Le contrôle est immédiat : 91,67 est environ une fois et demie 61,12, avec les deux valeurs arrondies à 0,01 cm³.

Pour fabriquer un emballage cylindrique avec une feuille donnée, le roulage où le grand côté devient la circonférence donne le cylindre court et large. Il est préférable lorsque la capacité compte davantage que la hauteur.

Pour comparer deux récipients de même feuille, mesurez d'abord la hauteur et la circonférence de chaque version, puis calculez leur volume avec le rayon obtenu par la circonférence. Le calcul tranche une impression visuelle parfois trompeuse.

En géométrie, ce problème sert à vérifier qu'une même surface latérale ne détermine pas un volume unique. La hauteur et le rayon doivent être considérés ensemble, et non séparément.

Le problème de Galilée ne compare pas deux cylindres de même hauteur ou de même rayon. Il compare deux assemblages issus d'une même feuille rectangulaire : si la circonférence passe de 8 cm à 12 cm, la hauteur passe simultanément de 12 cm à 8 cm. Cette permutation des côtés est le critère qui distingue le problème d'une simple comparaison de récipients.

Il ne s'agit pas non plus d'une conservation du volume par changement de forme. La feuille fournit la même surface latérale, mais le volume dépend aussi de l'aire circulaire de la base. Avec la feuille 12 cm × 8 cm, les volumes 192/π cm³ et 288/π cm³ suffisent à trancher.

Le résultat suppose une feuille rectangulaire, un enroulement sans recouvrement et des bases circulaires fermées. Si les bords se chevauchent, la circonférence effectivement disponible n'est plus celle du côté annoncé : il faut mesurer cette longueur et refaire le calcul.

Le cas L = l est charnière. Les deux roulages donnent alors le même cylindre, donc V₁ = V₂. Pour L supérieur à l, le cylindre de hauteur l et de circonférence L est plus grand ; pour L inférieur à l, les noms « long » et « court » s'inversent avec les côtés.

Une feuille dont un côté est nul ne forme pas un cylindre ordinaire : le rayon ou la hauteur devient nul, et le modèle géométrique dégénère. Il faut donc deux longueurs strictement positives et une fermeture circulaire réalisable.

Le problème de Galilée ouvre sur une idée générale de géométrie : une contrainte de surface ne fixe pas toujours un volume. En faisant varier continûment la longueur L et la largeur l tout en conservant leur produit, on peut étudier comment la permutation ou le choix des dimensions modifie l'aire de base et la hauteur. Cette lecture relie le problème concret aux comparaisons de formes et à l'optimisation géométrique, sans changer les hypothèses du modèle cylindrique.