ArithmétiqueNotion · Glossaire
problème d'engrenage
Un problème d'engrenage consiste à déterminer comment une rotation se transmet entre deux roues dentées en prise. Pour des roues compatibles, d'axes fixes et sans glissement, la valeur absolue de la vitesse de sortie est celle d'entrée multipliée par le nombre de dents de l'entrée divisé par celui de la sortie : une sortie plus dentée tourne donc moins vite. Deux roues extérieures tournent en sens opposés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le rapport des vitesses au rapport inverse des nombres de dents.
- Calculer une vitesse de sortie et contrôler le résultat par le nombre de dents passées au contact.
- Tenir compte du sens de rotation et des trains d'engrenages simples ou composés.
En clair
Imaginez une petite roue de 12 dents qui entraîne une grande roue de 36 dents. Lorsque la petite roue accomplit trois tours, ses 36 dents passées au point de contact font avancer les 36 dents de la grande roue : celle-ci accomplit un tour. La sortie tourne donc trois fois moins vite.
Un problème d'engrenage consiste à retrouver cette vitesse de sortie, ou le nombre de dents nécessaire, en s'appuyant sur le fait que les deux roues échangent le même nombre de dents au contact.
Définition
Un problème d'engrenage étudie la transmission d'une rotation entre des roues dentées. Pour une paire de roues en prise, la roue d'entrée possède un nombre de dents noté Ze et tourne à une vitesse notée ωe. La roue de sortie possède Zs dents et tourne à la vitesse ωs. Les nombres de dents parcourus pendant une même durée sont égaux.
En valeur absolue, le rapport des vitesses est l'inverse du rapport des nombres de dents : . Ainsi, une roue de sortie plus dentée tourne moins vite. Pour deux roues dentées extérieures, les sens sont opposés ; avec des vitesses algébriques orientées selon le même sens positif, la relation devient .
Cette relation suppose deux roues compatibles, en prise sans glissement et des axes fixes. Dans un train de plusieurs roues, on applique le rapport à chaque contact puis on multiplie les rapports successifs. Une roue intermédiaire simple modifie le sens transmis, mais son nombre de dents s'élimine du rapport de vitesse entre la première et la dernière roue.
Un exemple, pas à pas
Une roue d'entrée de 12 dents entraîne directement une roue de sortie de 36 dents. La roue d'entrée tourne à 90 tours par minute. Les deux roues sont extérieures, compatibles et en prise sans glissement.
1. Le rapport des valeurs absolues des vitesses vaut .
2. La vitesse de sortie est donc .
3. Puisque les deux roues sont extérieures, la sortie tourne en sens opposé à l'entrée. Si le sens de l'entrée est positif, sa vitesse algébrique est −30 tr/min.
Le contrôle se refait en comptant les dents qui passent au contact en une minute : 12 × 90 = 1 080 pour l'entrée et 36 × 30 = 1 080 pour la sortie. Les deux comptes coïncident.
En pratique
Dans une montre ou une horloge, un train d'engrenages relie plusieurs roues. Pour trouver la vitesse d'une aiguille, on suit les contacts depuis l'entrée et on multiplie leurs rapports.
Dans une boîte de vitesse, le couple de roues choisi fixe le rapport de transmission. Une roue de sortie plus dentée que la roue d'entrée est retenue lorsqu'on veut réduire la vitesse de rotation.
Sur une bicyclette, les roues dentées sont reliées par une chaîne plutôt qu'en contact direct. On compare néanmoins leurs nombres de dents pour relier la cadence de rotation du pédalier à celle de la roue entraînée.
À ne pas confondre
Le rapport des vitesses ne doit pas être confondu avec le rapport des nombres de dents pris dans le même ordre. Pour l'exemple de 12 et 36 dents, la valeur absolue sortie/entrée vaut 1/3, tandis que le quotient dents sortie/entrée vaut 3 : ces deux nombres sont inverses.
Un engrenage direct ne se confond pas avec une transmission par chaîne de bicyclette. Dans le premier cas, les dents des deux roues se touchent et les rotations sont opposées ; avec une chaîne non croisée, les roues dentées tournent dans le même sens.
Limites et pièges
Le quotient Ze/Zs donne une valeur absolue. Pour deux roues extérieures, oublier le signe moins masque l'inversion du sens. Il faut annoncer la convention d'orientation avant d'écrire une vitesse algébrique.
Une roue intermédiaire simple ne crée pas automatiquement un nouveau facteur dans la valeur du rapport total. Dans un train entrée–intermédiaire–sortie, les dents de l'intermédiaire apparaissent une fois au numérateur et une fois au dénominateur, puis se simplifient.
Dans un train composé, deux roues peuvent être solidaires sur un même axe. Le nombre de dents de chacune intervient alors dans un étage différent : il faut multiplier les rapports étage par étage, et non comparer seulement la première et la dernière roue.
Le cas charnière Ze = Zs donne une valeur de rapport égale à 1 : la vitesse n'est ni multipliée ni réduite. Le sens reste toutefois inversé pour deux roues extérieures en prise directe.
Pour aller plus loin
L'article La fascination des engrenages prolonge le calcul du rapport par une exploration des mécanismes et des constructions rendus possibles par les roues dentées.
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