restauration de figure

Une figure complète est affichée, mais la feuille de l'élève n'en montre qu'un morceau : l'amorce. Il faut retrouver les traits manquants avec une règle, un compas ou une équerre. Chaque instrument peut coûter un certain nombre de points.

Le but n'est donc pas de multiplier les mesures. L'élève cherche plutôt une propriété utile : deux droites parallèles, un angle droit, une symétrie ou deux longueurs égales. L'amorce et le barème sont choisis pour rendre certaines de ces relations particulièrement avantageuses.

La restauration de figure est une famille de tâches didactiques en géométrie. L'élève voit une figure modèle complète et reçoit une amorce, c'est-à-dire un fragment de cette figure. Il doit reconstruire l'ensemble avec les instruments autorisés. La production peut conserver l'échelle du modèle ou imposer un agrandissement ou une réduction ; dans ce second cas, les longueurs du modèle ne peuvent pas être reportées telles quelles.

Un coût est associé à l'emploi de chaque instrument, selon un barème propre à l'activité. Ce coût ne change pas la validité géométrique d'un tracé : il sert à départager ou à faire comparer des procédures correctes. L'élève est ainsi conduit à mobiliser les relations encodées par la figure, par exemple le parallélisme, la perpendicularité, la symétrie ou l'égalité de certaines distances, plutôt qu'à relever toutes les mesures.

L'amorce, les outils disponibles et leur barème forment donc un même dispositif pédagogique. Leur choix dépend de la propriété que l'enseignant souhaite faire reconnaître. Ils orientent les stratégies sans garantir qu'une procédure soit unique : plusieurs constructions peuvent être exactes et avoir des coûts différents.

Le modèle est un rectangle ABCD de 8 cm sur 5 cm, avec sa diagonale [AC]. L'amorce, à la même échelle, contient seulement les côtés adjacents [AB] et [AD]. Pour ce barème d'exemple, chaque perpendiculaire tracée à l'équerre coûte 1 point, chaque segment tracé à la règle coûte 1 point et chaque report au compas coûte 2 points.

Données : AB = 8 cm ; AD = 5 cm ; les quatre angles du modèle sont droits ; [AB] et [AD] appartiennent déjà à l'amorce. La figure associée distingue ces deux côtés donnés des traits à restaurer.

1. Par B, on trace la droite perpendiculaire à (AB) avec l'équerre.
2. Par D, on trace la droite perpendiculaire à (AD). Ces deux droites se coupent en C.
3. On trace la diagonale [AC] à la règle. Le rectangle et sa diagonale sont restaurés.

Les deux perpendiculaires et la diagonale coûtent au total 3 points selon le barème annoncé ; aucun report au compas n'est nécessaire. Pour contrôler la construction, on vérifie BC ≈ 5 cm et CD ≈ 8 cm avec la précision des instruments. La longueur théorique de la diagonale est $AC=\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}\text{ cm}AC=\backslash sqrt\{8^2+5^2\}=\backslash sqrt\{89\}\backslash \; \backslash text\{cm\}$, soit environ 9,43 cm.

Pour préparer une séance, l'enseignant choisit d'abord la relation à faire travailler. Une amorce formée de deux côtés adjacents d'un rectangle convient à la perpendicularité. Si l'objectif porte sur l'égalité de distances, une amorce faisant apparaître un centre et un point peut rendre le compas plus pertinent.

Avant de tracer, l'élève peut nommer les éléments déjà donnés, repérer les relations visibles sur le modèle et prévoir l'ordre des opérations. Cette préparation est préférable à une prise systématique de mesures lorsque le barème pénalise l'usage répété de la règle graduée ou du rapporteur.

Après la construction, deux contrôles sont utiles : vérifier que la figure obtenue respecte les propriétés du modèle, puis calculer le coût de la procédure. Une autre solution est intéressante si elle reste exacte et mobilise une relation différente ; son coût permet alors de comparer les raisonnements, pas la qualité du tracé seul.

Restauration et reproduction ordinaire. Une reproduction ordinaire peut partir d'un modèle complet et laisser libre le relevé des mesures. Dans une restauration, l'élève construit à partir d'une amorce partielle et ses choix d'instruments sont orientés par un barème. Le fragment fourni et le coût annoncé permettent de trancher.

Restauration et construction à partir d'un programme. Un programme de construction énonce les opérations ou les propriétés à utiliser. La restauration donne plutôt un modèle visuel et une amorce ; c'est à l'élève d'identifier les relations utiles. Si toutes les étapes sont déjà prescrites, la recherche de stratégie n'est plus la même.

Restauration et symétrie. Compléter une figure par symétrie exige une transformation précise et un axe ou un centre. Une restauration peut exploiter une symétrie, mais aussi le parallélisme, la perpendicularité ou des distances égales. Avec une amorce contenant deux côtés adjacents, un rectangle sans axe indiqué peut ainsi être restauré par deux perpendiculaires.

Une amorce trop riche rend la tâche mécanique. Si presque tous les sommets et côtés sont déjà présents, l'élève peut compléter le dessin sans identifier la relation visée. Il faut retirer ou déplacer des éléments tout en conservant assez d'information pour que la figure reste reconstructible.

Une amorce trop pauvre peut laisser plusieurs réponses. Un seul segment de 8 cm ne détermine pas un rectangle unique : sa seconde dimension reste libre. Il faut fournir une longueur, un point ou une autre relation qui lève cette indétermination, sauf si la comparaison de plusieurs solutions est l'objectif annoncé.

Le moindre coût ne prouve pas l'exactitude. Une construction à 1 point qui ne respecte pas les angles droits du modèle reste fausse. On contrôle d'abord les propriétés géométriques, puis on compare les coûts des procédures valides selon le barème donné.

Un changement d'échelle modifie les raisonnements disponibles. Reporter 8 cm et 5 cm convient seulement à la restauration à la même échelle de l'exemple. À une échelle différente, il faut déterminer le rapport demandé et transformer toutes les longueurs correspondantes, sans exiger une égalité exacte entre des mesures approchées.

L'article De l'importance d'une bonne méthode prolonge la réflexion sur le choix raisonné d'une stratégie plutôt que l'accumulation d'opérations.

On peut aussi comparer plusieurs amorces d'une même figure. Cette variation montre quelles informations suffisent à déterminer la construction et lesquelles rendent encore plusieurs restaurations possibles.