GéométrieObjet mathématique · Glossaire
suite logique
Les suites logiques sont des suites dont on fournit les premiers termes et dont on demande de retrouver le terme suivant ou un terme manquant. Très utilisées dans les tests psychométriques, elles sont censées évaluer les capacités de raisonnement. Parmi les exemples célèbres figurent la suite de Conway et la suite d'Aronson. D'un point de vue mathématique rigoureux, la connaissance d'un nombre fini de termes ne permet jamais de déterminer de façon unique la loi de récurrence régissant la suite : plusieurs lois peuvent toujours générer les mêmes premiers termes. Un exemple illustratif est la suite 2, 4, 8, 16 : la réponse intuitive est 32 (puissances de 2), mais la formule Rₙ = 1 + n(n−1)[(n−2)(n−3) + 12]/24 — qui compte les régions obtenues en joignant deux à deux n points distincts sur un cercle, sans intersection intérieure commune à trois diagonales dont les extrémités sont toutes distinctes — donne exactement 2, 4, 8, 16 pour n = 2, 3, 4, 5, mais produit 31 pour n = 6.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les éléments d’une suite logique et contrôler une règle candidate.
- Suivre deux prolongements vérifiables de 2, 4, 8, 16 vers 32 et vers 31.
- Distinguer une réponse attendue dans un test d’une continuation mathématiquement unique.
En clair
Face à 2, 4, 8, 16, on remarque vite que chaque nombre est le double du précédent. On propose donc naturellement 32 comme terme suivant. Une suite logique invite précisément à repérer ce genre de régularité dans quelques termes visibles.
Mais les nombres donnés sont seulement des indices. Une autre règle peut reproduire les quatre mêmes valeurs puis donner 31. Résoudre l’énigme consiste donc à trouver une règle plausible, pas à démontrer qu’elle est la seule possible.
Définition
Dans l’usage des énigmes et des tests psychométriques, une suite logique est une liste dont seuls quelques termes sont fournis. La question demande de compléter un terme manquant ou de proposer le suivant en dégageant une règle commune. Les termes peuvent être des nombres, mais la notion repose surtout sur la régularité supposée par l’énoncé.
Une règle candidate doit reproduire tous les termes connus dans leur ordre. Elle peut relier deux termes successifs ou calculer chaque terme à partir de sa position, appelée indice. Dans 2, 4, 8, 16, la règle « multiplier par 2 » conduit à 32. Pourtant, une formule fondée sur l’indice reproduit aussi ces quatre valeurs et conduit ensuite à 31.
Mathématiquement, un nombre fini de termes ne détermine donc jamais une loi unique. La réponse attendue dans un test dépend d’une convention implicite de simplicité ou du contexte. La suite de Conway et la suite d’Aronson sont deux exemples célèbres de suites logiques, chacune suivant sa propre règle.
De quoi c'est fait
Une suite logique met en jeu cinq éléments. Les termes connus forment les données visibles. Leur ordre attribue à chacun une position, ou indice. La case cherchée précise le terme à compléter. Une règle candidate relie les termes entre eux ou à leurs indices. Enfin, le contrôle applique cette règle à toutes les données déjà fournies.
La valeur proposée dépend à la fois de la règle et de la position de la case cherchée. Le contrôle dépend, lui, de l’ensemble des termes connus : une règle qui n’en reproduit qu’une partie doit être rejetée. Ces éléments suffisent à construire une continuation cohérente, mais pas à prouver son unicité. La police, la couleur ou l’espacement des nombres ne définissent rien, sauf si l’énoncé en fait explicitement des données.
Un exemple, pas à pas
On cherche le terme qui suit 2, 4, 8, 16. Les quatre valeurs sont connues dans cet ordre, et le terme demandé occupe la position suivante. Deux règles candidates vont être contrôlées sur exactement les mêmes données.
1. Chaque terme connu vaut deux fois le précédent : 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8 et 8 × 2 = 16.
2. En poursuivant cette règle, 16 × 2 = 32. Le contrôle retrouve bien les quatre valeurs données.
2. En poursuivant cette règle, 16 × 2 = 32. Le contrôle retrouve bien les quatre valeurs données.
3. On essaie maintenant une règle géométrique. Le nombre de points distincts placés sur un cercle est noté n, et le nombre de régions correspondant est noté Rn. Lorsque toutes les paires de points sont reliées et qu’aucune intersection intérieure n’est commune à trois diagonales dont les extrémités sont toutes distinctes, il vaut .
4. Pour les indices 2, 3, 4 et 5, la formule donne successivement 2, 4, 8 et 16. Pour l’indice 6, elle donne .
4. Pour les indices 2, 3, 4 et 5, la formule donne successivement 2, 4, 8 et 16. Pour l’indice 6, elle donne .
Le résultat est donc 32 avec la règle du double, mais 31 avec la règle des régions. Le contrôle refaisable consiste à substituer chaque indice de 2 à 6 dans la formule : les quatre termes initiaux coïncident avant que les continuations divergent.
En pratique
Dans un test psychométrique, on cherche généralement une régularité courte qui explique tous les termes. Si plusieurs réponses conviennent, le contexte du test et les choix proposés servent à reconnaître celle qui est attendue.
Devant une suite de nombres, on compare d’abord des opérations simples entre termes successifs. Si elles échouent, une règle fondée sur la position de chaque terme peut être plus adaptée. Dans tous les cas, la règle retenue doit être testée sur la totalité des valeurs fournies.
Lorsque le but est mathématique plutôt que ludique, il faut donner la règle elle-même ou assez de conditions pour définir la suite sans ambiguïté. Une simple liste initiale ne remplace pas cette définition.
À ne pas confondre
Une suite logique à compléter n’est pas une suite mathématique entièrement définie. Dans la première, quelques termes invitent à deviner la règle attendue ; dans la seconde, une loi ou des conditions déterminent chaque terme. La liste 2, 4, 8, 16 seule relève du problème à compléter. La même liste accompagnée de la règle « multiplier par 2 » définit sans ambiguïté sa continuation.
Il ne faut pas non plus confondre loi de récurrence et raisonnement par récurrence. La première calcule des termes à partir de termes antérieurs. Le second est une méthode de démonstration. La consigne « doubler le terme précédent » est une loi ; prouver une propriété pour tous les indices demanderait un raisonnement distinct.
Limites et pièges
Plusieurs réponses exactes. Dès que seuls un nombre fini de termes est connu, plusieurs lois peuvent les reproduire. Le symptôme est l’existence de deux règles vérifiées sur chaque terme mais donnant ensuite des valeurs différentes. Il faut alors annoncer la règle choisie et ne pas présenter la continuation comme nécessaire.
Simplicité implicite. Dans 2, 4, 8, 16, la réponse 32 paraît plus naturelle parce que le doublement est immédiatement visible. Cette préférence ne constitue pas une preuve d’unicité : la formule des régions donne 31 au sixième indice. Il faut distinguer la réponse probablement attendue de la seule réponse mathématiquement possible.
Hypothèse géométrique oubliée. Le décompte des régions suppose que les points distincts sont joints deux à deux et qu’aucune intersection intérieure n’est commune à trois diagonales dont les extrémités sont toutes distinctes. Les concours aux extrémités situées sur le cercle ne sont pas concernés. Si trois de ces diagonales passent par un même point intérieur, le découpage change. Il faut vérifier cette position générale avant d’utiliser la formule.
Pour aller plus loin
La fiche suite de Conway approfondit l’un des deux exemples célèbres et permet de comparer sa règle à celle du doublement.
La fiche suite d'Aronson approfondit l’autre exemple célèbre et permet de comparer deux façons de construire une suite.
L’article La suite audioactive offre un prolongement éditorial entièrement consacré à la suite de Conway.
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