Syllogisme

Dans une boîte, tous les jetons rouges sont ronds et tous les jetons étoilés sont rouges. Sans regarder chaque jeton étoilé, on peut déjà conclure qu’il est rond : être étoilé conduit à être rouge, puis être rouge conduit à être rond.

Ce passage en deux temps est un syllogisme. Les deux informations de départ sont les prémisses ; la troisième affirmation est la conclusion. La validité du passage dépend de leur enchaînement, pas des mots « jeton », « rouge » ou « rond ».

Un syllogisme est un raisonnement déductif formé de deux prémisses et d’une conclusion. Dans la forme aristotélicienne classique, la majeure affirme que tous les objets d’une catégorie A appartiennent à une catégorie B. La mineure affirme que tous les objets d’une catégorie C appartiennent à A. La conclusion affirme alors que tous les objets de C appartiennent à B.

En notant l’inclusion d’une catégorie dans une autre par le symbole ⊆, la structure s’écrit : $A\subseteq B,C\subseteq A⟹C\subseteq BA\; \backslash subseteq\; B,\backslash quad\; C\; \backslash subseteq\; A\backslash quad\; \backslash Longrightarrow\backslash quad\; C\; \backslash subseteq\; B$. La catégorie A joue le rôle d’intermédiaire : elle relie C à B et disparaît de la conclusion.

La validité signifie que, si les deux prémisses sont admises, la conclusion ne peut pas être fausse. Elle dépend de la forme du raisonnement, indépendamment du contenu choisi pour A, B et C. Aristote a classé les formes valides du syllogisme aristotélicien ; cette analyse constitue une forme élémentaire du raisonnement logique en logique des prédicats du premier ordre.

Une boîte contient des jetons. On dispose de deux informations : tous les jetons rouges sont ronds ; tous les jetons étoilés sont rouges. On note B la catégorie des jetons ronds, A celle des jetons rouges et C celle des jetons étoilés.

1. La prémisse majeure « tous les jetons rouges sont ronds » se traduit par A ⊆ B.
2. La prémisse mineure « tous les jetons étoilés sont rouges » se traduit par C ⊆ A.
3. Un jeton de C appartient donc à A, puis à B.
4. On conclut C ⊆ B : tous les jetons étoilés sont ronds.

Le contrôle consiste à remplacer les catégories par leurs mots dans la chaîne : étoilé conduit à rouge, et rouge conduit à rond. L’intermédiaire « rouge » est bien commun aux deux prémisses et n’apparaît plus dans la conclusion.

Pour vérifier un argument de cette forme, on repère d’abord les deux prémisses et la conclusion annoncée. Si une affirmation nécessaire manque, il faut la demander au lieu de compléter le raisonnement par intuition.

On remplace ensuite les sujets par trois catégories A, B et C. Quand les prémisses donnent A ⊆ B puis C ⊆ A, la conclusion C ⊆ B suit. Si l’emboîtement se brise, cette forme de syllogisme ne permet pas de conclure.

Enfin, on contrôle séparément les prémisses. Une forme valide garantit la transmission de leur contenu vers la conclusion ; elle ne garantit pas que les informations de départ décrivent effectivement la boîte observée.

Syllogisme et raisonnement déductif. Le raisonnement déductif est la catégorie générale ; le syllogisme en est une forme composée de deux prémisses et d’une conclusion. Un argument possédant davantage de prémisses peut rester déductif sans avoir cette structure syllogistique.

Validité et vérité des prémisses. La validité teste si la conclusion suit nécessairement des prémisses supposées. La vérité demande si ces prémisses correspondent au cas étudié. L’enchaînement des jetons peut être valide même si la boîte réelle contient un jeton rouge qui n’est pas rond.

Inclusion renversée. « Tous les rouges sont ronds » n’affirme pas que tous les ronds sont rouges. Le symptôme est une conclusion qui inverse A ⊆ B en B ⊆ A. Il faut conserver le sens de chaque inclusion.

Intermédiaire mal raccordé. Si la seconde prémisse dit seulement que tous les rouges sont étoilés, elle donne A ⊆ C et non C ⊆ A. La chaîne C ⊆ A ⊆ B n’existe plus ; il faut renoncer à la conclusion sur tous les jetons étoilés.

Catégorie C vide. S’il n’existe aucun jeton étoilé dans la boîte, « tous les jetons étoilés sont ronds » reste compatible avec les prémisses, mais ne prouve l’existence d’aucun jeton. Il faut ajouter une information d’existence pour en exhiber un.

Prémisse fausse prise pour un défaut de forme. Trouver un jeton rouge non rond réfute la majeure dans cette boîte, mais ne change pas la forme A ⊆ B, C ⊆ A, donc C ⊆ B. Il faut corriger la prémisse et réévaluer le cas concret.

Le raisonnement déductif replace le syllogisme dans la famille plus large des arguments dont la conclusion découle nécessairement des prémisses.