ArithmétiqueNotion · Glossaire
taux actuariel
Le taux actuariel est le taux d’intérêt effectif qui égalise le prix d’un placement, d’un crédit ou d’une obligation avec la valeur actuelle de tous ses flux financiers, compte tenu de leurs montants et de leurs dates. Il condense ainsi des échéanciers différents en un rendement ou un coût annuel comparable, à condition d’appliquer à tous les flux la même date d’évaluation et la même convention d’actualisation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le prix présent à la valeur actuelle de tous les flux datés.
- Vérifier sur un exemple qu’un taux annuel de 10 % reconstitue exactement un prix de 1 000 €.
- Distinguer le taux actuariel du taux nominal et du gain total.
- Repérer les situations où l’équation peut avoir plusieurs solutions ou aucune solution admissible.
En clair
Vous versez 1 000 € aujourd’hui, puis vous recevez 100 € dans un an et 1 100 € dans deux ans. Additionner 100 € et 1 100 € ne suffit pas : un euro reçu plus tard n’a pas la même valeur qu’un euro disponible maintenant.
Le taux actuariel ramène chaque versement futur à sa valeur d’aujourd’hui. C’est le taux annuel unique pour lequel la somme de ces valeurs retrouve exactement les 1 000 € versés au départ. Il rend ainsi comparables des placements dont les paiements n’arrivent ni aux mêmes dates ni dans les mêmes montants.
Définition
Le taux actuariel est le taux d’intérêt effectif qui égalise le prix d’un instrument financier et la valeur actuelle de tous les flux qu’il produira. Il s’applique notamment à un placement, à un crédit ou à un emprunt obligataire. Le prix considéré peut être le prix d’émission ou le prix de cession.
On note P le prix à la date d’actualisation, Fi le montant du flux numéro i, Xi le nombre d’années jusqu’à sa disponibilité et r le taux actuariel annuel. Le taux satisfait l’équation suivante :
Chaque flux est donc pondéré par sa date. Avec un décaissement initial suivi uniquement d’encaissements positifs, cette valeur actuelle décroît lorsque le taux augmente, ce qui donne au plus une solution pour r supérieur à −100 %. Si les flux changent plusieurs fois de signe, l’équation peut au contraire n’avoir aucune solution admissible ou en avoir plusieurs.
Un exemple, pas à pas
Un placement coûte 1 000 € aujourd’hui. Il verse 100 € au bout d’un an, puis 1 100 € au bout de deux ans. On cherche le taux actuariel annuel r.
Données :
Prix initial : 1 000 €.
Premier flux : 100 € à 1 an.
Second flux : 1 100 € à 2 ans.
Prix initial : 1 000 €.
Premier flux : 100 € à 1 an.
Second flux : 1 100 € à 2 ans.
1. On écrit l’égalité entre le prix et les deux flux actualisés :
2. On teste r = 10 %, soit 0,10. Le premier flux vaut alors aujourd’hui 100 ÷ 1,10 ≈ 90,91 €, et le second 1 100 ÷ 1,102 ≈ 909,09 €.
3. Le contrôle donne 90,91 € + 909,09 € ≈ 1 000,00 €. Avant arrondi, la somme vaut exactement 1 000 €. Le taux actuariel annuel du placement est donc 10 %.
En pratique
Pour comparer deux placements, on rassemble d’abord leur prix et tous leurs encaissements aux dates prévues. Le taux actuariel est préférable au simple gain total lorsque les calendriers de paiement diffèrent.
Pour une obligation achetée à un prix donné, on inclut les versements périodiques et le remboursement final. Le taux nominal décrit une rémunération annoncée sur une base de référence ; le taux actuariel est le bon repère lorsque le prix payé ou les dates des flux modifient le rendement effectif.
Pour un crédit, on met en regard la somme effectivement reçue et les remboursements datés. Cette méthode est utile dès que l’échelonnement compte ; si tous les flux surviennent à la même date, une comparaison directe des montants peut suffire.
À ne pas confondre
Taux nominal. Il est exprimé à partir d’une base contractuelle sans résumer nécessairement le prix payé et tous les flux datés. Si une obligation de valeur de référence 1 000 € verse 100 € par an mais s’achète à un autre prix, le rapport 100/1 000 reste 10 %, tandis que son taux actuariel change.
Gain total. Il soustrait les sommes versées des sommes reçues, sans tenir compte des dates. Deux placements peuvent afficher le même gain total et des taux actuariels différents si l’un verse l’argent plus tôt que l’autre.
Limites et pièges
Flux incomplet. Oublier un versement ou lui attribuer une mauvaise date fausse le taux obtenu. Il faut reconstituer la totalité des flux et exprimer toutes les durées dans la même unité annuelle avant de résoudre l’équation.
Plusieurs changements de signe. Un financement suivi d’encaissements puis de nouveaux décaissements peut produire plusieurs taux, ou aucun taux admissible. Le symptôme est la présence de plusieurs solutions ou l’échec de la résolution ; il faut alors examiner directement la valeur actuelle selon un taux de référence explicite.
Borne de −100 %. Avec l’actualisation annuelle (1 + r), le cas r = −100 % annule le dénominateur et la formule n’est plus définie. Les taux inférieurs posent en outre un problème d’interprétation pour des échéances non entières ; on travaille donc dans le domaine où chaque facteur d’actualisation est défini.
Résultat arrondi. Une somme de valeurs actuelles affichée au centime peut sembler égale au prix sans l’être exactement. Le bon contrôle utilise le taux non arrondi, puis annonce séparément la précision choisie pour le taux et pour les montants.
Pour aller plus loin
Les Intérêts composés éclairent le facteur (1 + r)X qui relie une valeur présente à une valeur future sur plusieurs périodes.
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