fonction VAN

Vous hésitez à verser 10 000 € aujourd’hui pour recevoir 4 000 € à la fin de chacune des trois prochaines années. Additionner 12 000 € ne suffit pas : un euro reçu plus tard ne compte pas comme un euro disponible maintenant. La fonction VAN ramène donc chaque somme future à une valeur d’aujourd’hui, avec un taux choisi, puis additionne ces valeurs.

En comparant ce total au paiement initial, on obtient un solde exprimé à la date de référence : positif, il dépasse le coût de départ ; négatif, il ne le couvre pas.

La fonction VAN d’un tableur additionne les valeurs présentes d’une série de flux de trésorerie futurs. Le taux d’actualisation, noté r, traduit la réduction appliquée à chaque période. Le flux reçu ou payé à la période k est noté F_k. Pour n périodes régulièrement espacées, la fonction calcule :

Un flux positif est un encaissement et un flux négatif un décaissement. Le premier flux de la série est actualisé d’une période, le deuxième de deux périodes, et ainsi de suite. Un paiement effectué immédiatement, à la période 0, n’entre donc pas dans cette somme : il s’ajoute séparément, sans actualisation. La VAN du projet est alors la somme renvoyée par la fonction et du flux initial. Elle est positive, nulle ou négative selon que la somme des flux actualisés et du flux initial est supérieure, égale ou inférieure à zéro. La comparaison de projets n’a de sens qu’avec une même date de référence et des hypothèses de taux cohérentes.

Le calcul réunit quatre éléments. La date de référence est le présent auquel toutes les sommes sont ramenées. Le taux d’actualisation fixe la réduction par période. La série de flux futurs indique, dans l’ordre, les encaissements positifs et les décaissements négatifs. Enfin, le flux initial décrit le paiement ou l’encaissement immédiat.

La position d’un flux dans la série détermine la puissance appliquée au facteur 1 + r : déplacer une somme change donc sa valeur présente. Le flux initial dépend de la même date de référence, mais pas du taux, puisqu’il intervient à la période 0. Ces données suffisent à calculer la somme actualisée des flux, puis la VAN complète du projet. Leur ordre et leurs signes font partie du calcul ; la couleur ou la mise en forme des cellules n’en font pas partie.

Un projet demande 10 000 € maintenant et rapporte 4 000 € à la fin de chacune des trois prochaines années. Données :
flux initial à la période 0 : −10 000 € ;
flux F₁, F₂ et F₃ : 4 000 € chacun ;
taux annuel r : 8 %.

1. Actualiser le premier flux donne 4 000 / 1,08 ≈ 3 703,70 €.

2. Actualiser le deuxième flux donne 4 000 / 1,08² ≈ 3 429,36 €.

3. Actualiser le troisième flux donne 4 000 / 1,08³ ≈ 3 175,33 €.

4. La fonction VAN additionne les trois valeurs non arrondies : elle renvoie environ 10 308,39 €. La VAN du projet vaut alors −10 000 € + 10 308,39 € ≈ 308,39 €. Le résultat positif indique que les encaissements actualisés dépassent le coût initial. Pour contrôler le calcul, la somme des trois valeurs affichées vaut 10 308,39 € à un centime près. Une représentation chronologique rend visible la baisse de chaque flux actualisé.

Pour étudier un investissement, on inscrit le paiement immédiat à part, puis les flux futurs dans leur ordre chronologique. La fonction VAN convient lorsque les périodes sont régulières ; si les dates sont irrégulières, il faut une fonction qui actualise à partir des dates réelles.

Pour comparer plusieurs projets, on calcule chaque VAN avec la même date de référence et un taux fondé sur des hypothèses comparables. Le projet dont la somme brute des recettes est la plus grande n’est pas nécessairement celui dont la VAN est la plus élevée, car le calendrier des flux intervient.

Pour tester une décision, on fait varier le taux ou les flux prévus et on observe si la VAN reste positive. Un seul calcul donne un verdict pour un scénario ; plusieurs scénarios montrent si ce verdict dépend fortement d’une hypothèse.

Somme renvoyée par la fonction VAN et VAN complète du projet. La fonction décrite par la somme allant de la période 1 à la période n actualise seulement les flux futurs. La VAN du projet inclut aussi le flux de la période 0. Dans l’exemple, la fonction renvoie environ 10 308,39 €, tandis que le projet a une VAN d’environ 308,39 € après ajout du paiement initial de −10 000 €.

Valeur future et valeur présente. Une valeur future est la somme prévue à sa date de versement ; sa valeur présente est cette même somme ramenée à la date de référence. À 8 %, les 4 000 € de la troisième année restent un flux futur de 4 000 €, mais leur valeur présente est d’environ 3 175,33 €.

Flux initial placé dans la série. Si le paiement de la période 0 est inclus parmi les flux futurs, le tableur l’actualise d’une période. Le symptôme est un coût initial artificiellement réduit. Il faut calculer la fonction sur les périodes 1 à n, puis ajouter séparément le flux initial.

Périodes irrégulières. La puissance k suppose des intervalles réguliers entre les flux. Si deux dates sont séparées de trois mois puis de quinze mois, leur rang ne représente plus correctement le temps écoulé. Il faut alors employer un calcul fondé sur les dates effectives.

Taux égal à −100 %. Le facteur 1 + r devient nul et les divisions ne sont plus définies. Plus généralement, une VAN numérique n’est pas un fait indépendant du taux retenu : changer ce taux change le poids des flux éloignés. Il faut annoncer le taux et tester les hypothèses plausibles.

VAN positive fondée sur des prévisions fragiles. Le signe résume les flux saisis, pas leur certitude. Si un faible changement de recette rend la VAN négative, le verdict est instable. Il faut recalculer plusieurs scénarios et examiner le seuil où la VAN devient nulle.

Taux d’intérêt — Pour préciser le rôle d’un taux dans le passage d’une valeur future à une valeur présente.

Intérêts composés — Pour relier les puissances successives de 1 + r à une évolution période après période.