Intérêts composés

Plaçons 1 000 € à 5 % par an, sans retrait. Après un an, les 50 € d'intérêts rejoignent les 1 000 € : le nouveau capital est 1 050 €.

L'année suivante, les 5 % portent sur 1 050 €, et non plus seulement sur la somme de départ. Le capital produit donc 52,50 € d'intérêts. Ce réinvestissement automatique des intérêts fait grandir la somme de plus en plus vite : les intérêts deviennent eux-mêmes productifs.

Les intérêts sont composés lorsqu'à la fin de chaque période ils sont incorporés au capital avant le calcul de la période suivante. Notons C₀ le capital initial, r le taux par période écrit sous forme décimale et n le nombre entier de périodes. À chaque étape, le capital est multiplié par 1 + r : $C_{k+1}=C_k(1+r)C\_\{k+1\}=C\_k(1+r)$. Après n périodes, on obtient : $C_n=C_0(1+r{)}^{n}C\_n=C\_0(1+r)^n$. Les capitaux successifs forment ainsi une suite géométrique et décrivent une croissance exponentielle lorsque r est positif.

Le taux et la durée doivent employer la même période : un taux annuel s'applique à un nombre d'années. La formule suppose aussi un taux constant, aucun versement ni retrait intermédiaire, et la réincorporation de tous les intérêts. Un taux nul laisse le capital inchangé. Un taux négatif le fait décroître tant que 1 + r reste positif.

En capitalisation continue, les intérêts sont modélisés comme étant incorporés à tout instant. Si t désigne le temps et ρ le taux continu par unité de temps, alors $C(t)=C_0{e}^{\rho t}C(t)=C\_0e^\{\backslash rho\; t\}$. Pour comparer ce modèle à un taux effectif par période, il faut ramener les deux taux à la même durée : sur une durée Δt, le taux effectif correspondant vaut $e^{\rho \mathrm{\Delta }t}-1e^\{\backslash rho\backslash Delta\; t\}-1$. Réciproquement, sur une période, un taux effectif r tel que 1 + r > 0 correspond au taux continu $\rho =\ln (1+r)\backslash rho=\backslash ln(1+r)$.

Un capital de 1 000 € est placé pendant 3 ans à un taux effectif annuel constant de 5 %. Les intérêts sont versés une fois par an et entièrement réinvestis. Il n'y a ni frais, ni taxe, ni mouvement sur le compte. Les données sont donc C₀ = 1 000 €, r = 0,05 et n = 3.

1. Après un an, le capital vaut 1 000 × 1,05 = 1 050 €. Les intérêts de la première année sont de 50 €.

2. Après deux ans, il vaut 1 050 × 1,05 = 1 102,50 €. La deuxième année produit 52,50 €, car elle rémunère aussi les premiers intérêts.

3. Après trois ans, la formule donne $C_3=1000(1+\mathrm{0,05}{)}^3=\mathrm{1157,625}C\_3=1000(1+0\{,\}05)^3=1157\{,\}625$. Le capital mathématique exact est 1 157,625 €, soit 1 157,63 € arrondi au centime. La figure retrace les quatre capitaux et rend visible l'accélération des gains annuels.

4. Contrôlons le résultat par addition : 1 000 € + 50 € + 52,50 € + 55,125 € = 1 157,625 €. Le gain total exact est donc 157,625 €, avant l'éventuel arrondi monétaire.

Pour projeter un placement sans versement intermédiaire, on applique le taux effectif de chaque période au capital déjà acquis. Si les taux changent d'une année à l'autre, on remplace la puissance unique par le produit des facteurs annuels.

Pour suivre une dette dont les intérêts impayés sont ajoutés au solde, on compose les facteurs jusqu'à l'échéance. Si les intérêts restent calculés uniquement sur la somme initiale, le modèle approprié est celui des intérêts simples.

Pour comparer deux offres, il faut ramener leurs taux à une même durée et regarder un taux effectif qui inclut la fréquence de capitalisation. Lorsque des frais, des taxes, des dépôts ou des retraits interviennent, on calcule chaque période séparément sur le solde réellement présent.

Intérêts simples. Ils sont toujours calculés sur le capital initial. À 5 % pendant 3 ans, 1 000 € donnent 1 150 € avec des intérêts simples, contre 1 157,625 € avec des intérêts composés sans arrondi intermédiaire.

Taux nominal et taux effectif. Un taux nominal annoncé sur une année ne suffit pas sans sa convention de capitalisation. Le taux effectif annuel mesure directement le facteur réellement appliqué sur l'année et peut donc entrer dans C_n = C₀(1 + r)ⁿ.

Capitalisation périodique et capitalisation continue. La première multiplie le capital à des dates séparées ; la seconde emploie le modèle C(t) = C₀e^ρt. Elles coïncident seulement après conversion correcte des taux sur la même durée.

Périodes incompatibles. Introduire un taux annuel avec un nombre de mois fausse l'exposant. Il faut convertir le taux selon la convention du produit, puis compter les périodes correspondantes.

Taux ou solde variables. La formule C_n = C₀(1 + r)ⁿ ne convient plus avec un taux unique si les taux, versements ou retraits changent. Il faut actualiser le solde à chaque événement et multiplier les facteurs effectivement rencontrés.

Cas charnières. Pour r = 0, le capital reste constant. Pour r = −1, il devient nul dès la première période. Un taux inférieur à −100 % produit un facteur négatif et sort du modèle monétaire ordinaire.

Arrondis, frais et taxes. Le calcul théorique donne 1 157,625 € dans l'exemple, mais un compte peut arrondir à chaque versement d'intérêts. Il faut appliquer les règles contractuelles, puis retrancher les frais et taxes aux dates où ils surviennent.

La suite géométrique fournit le cadre algébrique des capitaux successifs : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même facteur 1 + r.