AnalyseNotion · Glossaire
Taux d'intérêt
En mathématiques financières, le taux d'intérêt est le pourcentage appliqué à un capital pour calculer les intérêts produits sur une période donnée. On distingue le taux d'intérêt simple, où les intérêts ne sont pas réinvestis, et le taux d'intérêt composé, où ils s'ajoutent au capital à chaque période. Selon sa définition, un taux actuariel intègre des flux et des échéances déterminés ; pour un crédit, le taux effectif global intègre les éléments prévus par la réglementation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un taux à un capital et à une période de référence.
- Refaire les calculs simple et composé sur 1 000 € à 5 % pendant trois ans.
- Distinguer un pourcentage d'un montant d'intérêts en euros.
- Repérer les erreurs de période, de taux variable et d'arrondi.
En clair
Vous placez 1 000 € pendant un an à 5 %. Au bout de cette période, le placement produit 50 € d'intérêts : 5 % du capital de départ. Le taux relie donc trois éléments indissociables : une somme, une durée et le montant gagné ou dû.
Si le placement dure plusieurs années, le résultat dépend du sort des intérêts. En intérêt simple, ils restent à part et valent encore 50 € chaque année. En intérêt composé, ils rejoignent le capital : l'année suivante, les 5 % portent sur 1 050 €, puis sur le nouveau total.
Définition
Un taux d'intérêt est associé à une période précise. Le capital initial est noté C, le taux par période écrit sous forme décimale est noté r, et le nombre de périodes est noté n. Ainsi, 5 % par an signifie r = 0,05 pour une période d'un an. Le montant final simple est noté As, et le montant final composé Ac.
Avec des intérêts simples, le capital servant au calcul reste C à chaque période. Avec des intérêts composés, chaque intérêt rejoint le capital avant la période suivante. Pour un taux constant et des périodes de même durée, les deux évolutions s'écrivent :
Ces formules supposent que le taux et la durée utilisent la même unité de période. Dans un prêt ou un investissement, le taux affiché ne suffit pas toujours à comparer deux offres : un taux actuariel ou un taux effectif global vise à intégrer davantage de conditions de l'opération. Il faut alors vérifier la période de référence et les éléments effectivement pris en compte.
Un exemple, pas à pas
Un capital initial de 1 000 € est placé pendant 3 ans à un taux annuel constant de 5 %. Les périodes durent toutes un an. On calcule le montant final d'abord en intérêt simple, puis en intérêt composé.
1. En intérêt simple, l'intérêt annuel vaut 1 000 × 0,05 = 50 €.
2. Après 3 ans, les intérêts simples totalisent 3 × 50 = 150 €. Le montant final est donc 1 000 + 150 = 1 150 €.
3. En intérêt composé, le montant est multiplié par 1,05 chaque année : 1 000 × 1,05 = 1 050 €, puis 1 050 × 1,05 = 1 102,50 €, puis 1 102,50 × 1,05 = 1 157,625 €. Arrondi au centime, le placement atteint 1 157,63 €.
4. La capitalisation produit ainsi environ 7,63 € de plus que le calcul simple après trois ans. Cette différence vient des intérêts produits par les intérêts déjà ajoutés au capital.
Les deux trajectoires partent du même capital et coïncident après un an ; leur écart devient visible lors des périodes suivantes.
Le contrôle se refait directement avec la formule composée :
Le résultat exact avant arrondi confirme les trois multiplications successives.
En pratique
Pour un placement, on regarde si les intérêts sont versés à part ou ajoutés au capital. Le calcul simple convient au premier cas ; le calcul composé décrit le second.
Pour comparer deux durées, on remet d'abord les taux sur une même période. Un taux mensuel et un taux annuel ne se comparent pas directement, même si les deux sont écrits en pourcentage.
Pour un prêt, on distingue le taux appliqué au capital du montant d'intérêts payé en euros. Si d'autres conditions influent sur l'opération, un taux qui les intègre est plus informatif que le seul taux nominal.
Avant tout calcul, le bon réflexe consiste à relever le capital, le taux, sa période, le nombre de périodes et la règle de capitalisation. Ces cinq données permettent de choisir entre les modèles simple et composé présentés ici ; selon l'opération, les échéances, les frais ou les variations du taux peuvent aussi être nécessaires.
À ne pas confondre
Taux d'intérêt et montant des intérêts. Le taux est une proportion rapportée à une période ; les intérêts sont une somme d'argent. Sur 1 000 € à 5 % pendant un an, le taux vaut 5 % et l'intérêt vaut 50 €.
Intérêt simple et intérêt composé. Le critère est la base du calcul après la première période. Si elle reste égale au capital initial, l'intérêt est simple ; si elle inclut les intérêts antérieurs, il est composé.
Taux nominal et taux intégrant les conditions de l'opération. Deux offres au même taux nominal peuvent différer si leurs autres conditions ne sont pas identiques. Pour comparer l'ensemble de l'opération, il faut examiner le taux actuariel ou effectif annoncé et ce qu'il inclut réellement.
Limites et pièges
Périodes incompatibles. Introduire un taux annuel dans un calcul mensuel sans conversion fausse le résultat. Le symptôme est un nombre de périodes exprimé dans une autre unité que le taux ; il faut d'abord établir des périodes cohérentes.
Seuil de 0 %. À 0 %, le montant reste égal au capital initial dans les deux modèles. Avec un taux négatif supérieur à −100 % par période, le modèle composé diminue le capital au lieu de l'accroître ; le mot « intérêt » ne garantit donc pas un gain.
Taux variable. La formule composée C(1 + r)n suppose un même taux à chaque période. Si le taux change, il faut multiplier successivement les facteurs correspondant aux taux réellement appliqués.
Arrondis prématurés. Arrondir après chaque multiplication peut déplacer le résultat final de quelques centimes. On conserve autant de décimales que possible pendant le calcul, puis on arrondit une seule fois à la précision demandée.
Pour aller plus loin
Le glossaire Intérêts composés approfondit la capitalisation et l'accumulation produite par les intérêts réinvestis.
La fiche Pourcentage reprend le passage d'une proportion écrite en pourcentage à sa valeur décimale utilisable dans un calcul.
La suite géométrique donne le cadre mathématique des montants obtenus lorsqu'un capital est multiplié par le même facteur à chaque période.
Le taux actuariel prolonge la comparaison des opérations financières en tenant compte de leurs échéances et de leurs conditions.
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