modèle de Black-Scholes

Une option donne le droit d’acheter ou de vendre plus tard un actif à un prix fixé aujourd’hui. Ce droit a une valeur : un droit d’achat (call) devient plus intéressant si le cours a davantage de chances de dépasser le prix prévu par le contrat ; pour un droit de vente (put), c’est s’il a davantage de chances de rester en dessous.

Le modèle de Black-Scholes transforme cette idée en prix théorique. Il combine le cours actuel, le prix d’exercice, le temps avant l’échéance, le taux sans risque et la volatilité. Plus l’avenir du cours est incertain, plus l’estimation dépend du choix de cette volatilité, seule donnée qui n’est pas directement observable.

Publié en 1973 à la suite de travaux auxquels sont notamment associés Paul Samuelson et Robert Merton, le modèle de Black-Scholes évalue une option à partir des fluctuations supposées de son actif sous-jacent. Il relie cinq données : le cours actuel de l’actif, la durée restant avant l’échéance, le prix d’exercice, le taux d’intérêt sans risque et la volatilité du cours. Les quatre premières sont généralement observables. La volatilité doit être estimée, si bien que deux analystes peuvent obtenir des prix différents.

Pour un call européen sans dividende, le cours actuel est noté S, le prix d’exercice K, la durée en années T, le taux sans risque continûment composé r et la volatilité annualisée σ. La fonction N donne la probabilité cumulée d’une loi normale centrée réduite. Le prix théorique C s’écrit alors : Cette forme précise ne couvre donc pas indistinctement toutes les options.

La formulation usuelle suppose une évolution continue dont les rendements logarithmiques sont gaussiens. Dire simplement que le cours ou ses variations ordinaires suivent une loi normale est imprécis : dans ce cadre, le prix futur reste positif et suit une loi log-normale.

On évalue un call européen sans dividende. Les données sont : cours actuel S = 100 €, prix d’exercice K = 100 €, durée T = 1 an, taux sans risque r = 5 % par an en composition continue et volatilité σ = 20 % par an.

1. Comme S/K = 1, son logarithme vaut 0. Le premier terme est donc $d_1=\frac{0+(\mathrm{0,05}+{\mathrm{0,20}}^2\mathrm{/}2)\times 1}{\mathrm{0,20}\sqrt{1}}=\mathrm{0,35}d\_1=\backslash frac\{0+(0\{,\}05+0\{,\}20^2/2)\backslash times1\}\{0\{,\}20\backslash sqrt\{1\}\}=0\{,\}35$.

2. Le second terme vaut $d_2=\mathrm{0,35}-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,15}d\_2=0\{,\}35-0\{,\}20=0\{,\}15$.

3. La table de la loi normale donne N(0,35) ≈ 0,6368 et N(0,15) ≈ 0,5596.

4. La valeur actualisée du prix d’exercice est $100e^{-\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{95,1229}100e^\{-0\{,\}05\}\backslash approx95\{,\}1229$ euros.

5. Le prix du call est $C\approx 100\times \mathrm{0,6368}-\mathrm{95,1229}\times \mathrm{0,5596}\approx \mathrm{10,45}C\backslash approx100\backslash times0\{,\}6368-95\{,\}1229\backslash times0\{,\}5596\backslash approx10\{,\}45$ euros.

Le contrôle est immédiat : 10,45 € est positif et inférieur au cours de 100 €. À paramètres inchangés, refaire le calcul pour plusieurs cours fait apparaître la hausse régulière du prix théorique représentée par la courbe.

Pour évaluer un contrat, l’analyste renseigne ses cinq paramètres, calcule le prix théorique, puis le compare au prix coté. Pour une transaction réelle, le prix de marché reste la donnée décisive ; le modèle fournit un repère de comparaison.

Lorsque le prix coté est connu mais que la volatilité ne l’est pas, l’analyste peut rechercher numériquement la volatilité qui rend le prix du modèle égal à cette cotation, à condition que celle-ci respecte les bornes d’absence d’arbitrage du modèle ; sinon, aucune volatilité implicite n’existe. Cette volatilité implicite est préférable à une estimation historique si la question porte sur les anticipations déjà intégrées par le marché.

Pour tester un scénario, il modifie un paramètre à la fois et recalcule l’option. Si le contrat comporte des caractéristiques absentes de la formule choisie, il emploie une variante adaptée plutôt que de forcer le calcul standard.

Modèle de Black-Scholes et option financière. L’option est le contrat ; Black-Scholes est un outil pour en estimer le prix. Un contrat existe même si son prix est obtenu par une autre méthode.

Volatilité historique et volatilité implicite. La première est estimée à partir de cours passés ; la seconde est celle qui reproduit un prix d’option observé. Elles ne coïncident pas nécessairement pour un même actif.

Loi normale et loi log-normale. Dans la formulation usuelle, les rendements logarithmiques sont gaussiens tandis que le prix futur est log-normal. Une valeur négative possible signale que la loi normale a été appliquée au prix lui-même.

Volatilité incertaine. Elle n’est pas directement observable et son estimation varie selon la période ou la méthode retenue. Il faut donc annoncer la valeur utilisée et tester plusieurs scénarios plutôt que présenter un prix unique comme certain.

Échéance atteinte. À T = 0, les termes d₁ et d₂ divisent par zéro. Pour un call, on remplace alors la formule par sa valeur finale exacte : $\max (S-K,0)\backslash max(S-K,0)$.

Mauvais contrat. La formule donnée ici vise un call européen sans dividende. Si l’exercice peut avoir lieu avant l’échéance ou si l’actif verse un dividende, ses paramètres ne décrivent plus entièrement le contrat ; il faut une variante adaptée.

Fluctuations hors modèle. Une volatilité constante et une évolution continue peuvent mal rendre des changements brusques ou des comportements extrêmes. Un écart systématique entre prix calculés et prix cotés invite à changer de modèle ou à enrichir ses hypothèses.

Option financière — Pour replacer le calcul dans le contrat qui donne un droit d’achat ou de vente.

Volatilité — Pour approfondir le paramètre non observable qui influe le plus sur l’incertitude du prix calculé.

Taux d’intérêt — Pour comprendre l’actualisation du prix d’exercice dans la formule.

mouvement brownien — Pour étudier le processus aléatoire qui sous-tend la formulation continue du modèle.