AlgèbreNotion · Glossaire
Volatilité
En mathématiques financières, la volatilité d'un actif mesure la dispersion de ses rendements, c'est-à-dire l'amplitude relative de ses variations de prix. Elle est souvent quantifiée par l'écart-type des rendements logarithmiques sur une période de référence. Dans le modèle de Black-Scholes, la volatilité est le paramètre sigma qui apparaît dans l'équation différentielle stochastique du mouvement du prix. La volatilité implicite est la valeur déduite du prix d'une option sur le marché.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la volatilité à l'écart-type des rendements logarithmiques.
- Refaire un calcul quotidien puis son annualisation sur quatre rendements.
- Distinguer rendement, risque de perte, volatilité historique et volatilité implicite.
- Identifier les conventions et hypothèses qui rendent deux valeurs comparables.
En clair
Deux actifs peuvent finir le mois au même prix tout en ayant suivi des chemins très différents. Le premier a peu bougé chaque jour ; le second a alterné fortes hausses et fortes baisses. Le second a été plus volatil.
La volatilité chiffre cette agitation, sans annoncer le sens du prochain mouvement. Une valeur élevée signifie que les rendements se dispersent largement autour de leur moyenne. Une valeur faible correspond à des variations plus resserrées, dans le cadre et sur la durée observés.
Définition
La volatilité est une mesure de dispersion appliquée aux rendements d'un actif financier. Pour un prix Pt à la date t et le prix précédent Pt−1, tous deux strictement positifs, le rendement logarithmique rt est défini par . Sur une série de rendements, la volatilité historique est souvent estimée par leur écart-type.
Si la moyenne des n rendements est notée r̄, une convention descriptive utilisant le diviseur n donne :
Un estimateur statistique peut employer n − 1 au dénominateur. La convention doit donc accompagner toute valeur publiée. Pour annualiser une volatilité quotidienne, on la multiplie couramment par la racine carrée du nombre N de séances annuelles, sous l'hypothèse que les rendements ont une variance stable et s'additionnent sans autocorrélation pertinente.
Dans le modèle de Black-Scholes, le paramètre σ représente la volatilité supposée constante du rendement de l'actif. La volatilité implicite n'est pas calculée sur des rendements passés : c'est la valeur de σ qui, dans un modèle et pour une option donnés, reproduit son prix de marché.
Un exemple, pas à pas
Un actif fournit quatre rendements logarithmiques quotidiens : +1 % ; −1 % ; +2 % ; −2 %. Le calcul retient le diviseur 4 et, pour l'annualisation, la convention de 252 séances par an.
1. La somme des quatre rendements vaut 0 %, donc leur moyenne vaut 0 %.
2. En écriture décimale, la somme des carrés des écarts à la moyenne vaut 0,01² + (−0,01)² + 0,02² + (−0,02)² = 0,001.
3. La variance quotidienne descriptive vaut 0,001 / 4 = 0,00025. La volatilité quotidienne est donc , soit environ 1,58 %.
4. Avec 252 séances, la volatilité annualisée vaut , soit environ 25,10 %. Le contrôle consiste à remettre cette valeur au carré et à la diviser par 252 : on retrouve 0,00025, à l'arrondi près. La figure rend visibles les quatre écarts autour de la moyenne nulle.
En pratique
Pour comparer l'agitation de deux actifs, on calcule leurs volatilités avec la même fréquence, la même fenêtre et la même convention. Si les distributions sont très asymétriques ou riches en valeurs extrêmes, des quantiles ou des scénarios de perte complètent mieux l'écart-type.
Pour ajuster une exposition, une volatilité en hausse signale des variations devenues plus amples. Une mesure récente ou pondérée est alors préférable à une longue moyenne historique si le régime vient visiblement de changer.
Pour lire le marché des options, on compare les volatilités implicites de contrats dont l'échéance et le prix d'exercice sont précisés. Le prix de l'option est l'observation ; la volatilité implicite est le paramètre retrouvé par inversion du modèle.
À ne pas confondre
Volatilité et rendement. Le rendement indique la variation entre deux dates ; la volatilité mesure la dispersion d'une série de rendements. Les quatre rendements +1 %, −1 %, +2 % et −2 % ont une moyenne nulle, mais une volatilité quotidienne d'environ 1,58 % avec le diviseur 4, selon la convention descriptive.
Volatilité et risque de perte. La volatilité traite hausses et baisses symétriquement ; elle ne donne ni la perte maximale ni sa probabilité. Deux placements de même volatilité peuvent différer par leurs pertes extrêmes ou leur liquidité.
Volatilité historique et volatilité implicite. La première vient de rendements observés ; la seconde est extraite du prix d'une option au moyen d'un modèle. Un écart entre elles ne constitue donc pas une erreur de calcul.
Limites et pièges
Une valeur dépend de la fenêtre. Dix jours calmes et cinq années incluant une crise ne décrivent pas le même régime. Il faut publier la fréquence des rendements, les dates, le diviseur et la règle d'annualisation.
La racine du temps n'est pas automatique. Multiplier par √252 suppose notamment une variance stable et l'absence d'autocorrélation pertinente. En présence de ruptures ou de regroupements de fortes variations, il faut modéliser la dynamique ou mesurer directement l'horizon visé.
Zéro n'implique pas absence de risque. Une volatilité observée de 0 % signifie seulement que tous les rendements de l'échantillon sont identiques. Une cotation figée, rare ou trop courte peut masquer un mouvement futur ; il faut alors examiner la liquidité et la qualité des données.
Il n'existe pas toujours une volatilité implicite unique pour un actif. Les options de prix d'exercice ou d'échéances différents peuvent fournir des valeurs distinctes. Il faut toujours associer la valeur au contrat, au prix observé et au modèle utilisé.
Pour aller plus loin
L'écart-type détaille la mesure de dispersion qui sert au calcul de la volatilité historique.
Le rendement précise la grandeur dont les variations successives constituent les données du calcul.
Le modèle de Black-Scholes montre le rôle de σ dans la valorisation théorique d'une option.
La fiche Option financière donne le contexte dans lequel une volatilité implicite est extraite d'un prix de marché.
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