Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
moyenne mobile
Dans une série chronologique (série temporelle), une moyenne mobile — également appelée moyenne glissante, ou moving average en anglais — est une technique de lissage statistique qui atténue les fluctuations à court terme afin de mieux faire apparaître les tendances de fond et les évolutions à long terme. Ce type de lissage est précieux pour l'analyse de séries macroéconomiques, climatiques ou commerciales sujettes à des variations irrégulières. On distingue des moyennes mobiles d'ordre k, où k désigne le nombre de termes pris en compte. Une moyenne mobile d'ordre 3, par exemple, remplace chaque terme uᵢ par la moyenne arithmétique des trois termes uᵢ₋₁, uᵢ et uᵢ₊₁ ; cette opération n'est réalisable qu'à partir du deuxième terme de la série. On préfère généralement des ordres impairs, car ils permettent un centrage symétrique. Appliqué à des données mensuelles, un lissage d'ordre 12 peut atténuer, voire neutraliser, une saisonnalité annuelle stable sous des hypothèses adaptées. Un inconvénient inhérent à la méthode est la perte des valeurs situées aux extrémités de la série, pour lesquelles le calcul n'est pas réalisable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la largeur d'une fenêtre à l'ordre de la moyenne mobile.
- Calculer une moyenne mobile centrée d'ordre 3 sur cinq observations.
- Distinguer les données observées de leurs valeurs lissées.
- Repérer la perte aux extrémités et la difficulté de centrage d'un ordre pair.
En clair
Un site reçoit 120, 180, puis 150 visiteurs pendant trois jours. Pris séparément, ces nombres montent et descendent. Leur moyenne, 150 visiteurs, donne un niveau moins sensible à chaque variation quotidienne.
La moyenne devient mobile lorsque la fenêtre avance d'un jour : elle abandonne la valeur la plus ancienne et accueille la suivante. La série lissée suit ainsi le mouvement général sans reproduire chaque à-coup. La largeur de la fenêtre, appelée ordre, fixe le nombre de valeurs réunies à chaque étape.
Définition
Une moyenne mobile, ou moyenne glissante, transforme une série chronologique en une série lissée. Chaque nouvelle valeur est la moyenne arithmétique d'un groupe de valeurs voisines. Le nombre de valeurs du groupe est l'ordre k. La méthode s'applique notamment aux séries macroéconomiques, climatiques ou commerciales lorsque des variations irrégulières masquent une évolution de fond.
Pour un ordre impair, on écrit k = 2h + 1, où h est le nombre d'observations prises de chaque côté du terme central. Si ui désigne la valeur d'indice i et Mi sa valeur lissée, la moyenne mobile centrée est . À l'ordre 3, Mi réunit donc ui−1, ui et ui+1. Le centrage est symétrique et le premier calcul se place au deuxième terme.
Un ordre pair ne possède pas un terme central unique ; il faut préciser la convention de centrage. Sur des données mensuelles, une fenêtre de 12 mois sert à neutraliser un cycle saisonnier annuel. Plus généralement, l'ordre règle le compromis entre atténuation des fluctuations courtes et conservation des évolutions locales. Une moyenne centrée ne peut pas être calculée aux extrémités faute de valeurs voisines suffisantes.
Un exemple, pas à pas
On observe la fréquentation d'un site pendant cinq jours et l'on choisit une moyenne mobile centrée d'ordre 3.
Données :
• jour 1 : 120 visiteurs ;
• jour 2 : 180 visiteurs ;
• jour 3 : 150 visiteurs ;
• jour 4 : 240 visiteurs ;
• jour 5 : 210 visiteurs.
Données :
• jour 1 : 120 visiteurs ;
• jour 2 : 180 visiteurs ;
• jour 3 : 150 visiteurs ;
• jour 4 : 240 visiteurs ;
• jour 5 : 210 visiteurs.
1. Pour le jour 2, la fenêtre contient les jours 1 à 3 : .
2. Pour le jour 3, elle avance d'un rang : .
3. Pour le jour 4, elle avance encore : .
4. Les jours 1 et 5 restent sans valeur centrée, car il leur manque un voisin.
2. Pour le jour 3, elle avance d'un rang : .
3. Pour le jour 4, elle avance encore : .
4. Les jours 1 et 5 restent sans valeur centrée, car il leur manque un voisin.
La série lissée vaut donc 150, 190 et 200 visiteurs par jour, respectivement aux jours 2, 3 et 4. Un contrôle simple consiste à remultiplier chaque résultat par 3 : on retrouve les sommes 450, 570 et 600 des trois fenêtres. Un graphique superposant les données et ces trois résultats montre l'atténuation des variations quotidiennes.
En pratique
Dans un suivi commercial quotidien, une fenêtre courte atténue les variations irrégulières tout en conservant les changements récents. Si chaque pic de vente doit être examiné, la série brute reste indispensable à côté du lissage.
Pour une série climatique, le même calcul fait ressortir une évolution de fond. Une fenêtre plus large convient lorsque les oscillations courtes dominent ; une fenêtre plus étroite est préférable lorsqu'elles font partie du phénomène étudié.
Sur une série macroéconomique mensuelle, l'ordre 12 vise un cycle saisonnier annuel. Une autre durée doit être choisie si le rythme observable n'est pas annuel, et la convention de centrage doit être annoncée puisque 12 est pair.
À ne pas confondre
Moyenne mobile et moyenne arithmétique globale. La moyenne globale réunit toute la série et produit un seul nombre. La moyenne mobile répète le calcul sur des fenêtres locales et produit plusieurs nombres. Pour les cinq jours de l'exemple, le critère est immédiat : la première donne 180 visiteurs, tandis que la seconde donne 150, 190 et 200.
Moyenne mobile et série chronologique. La série chronologique est la suite de données datées ; la moyenne mobile est une transformation de cette suite. Les cinq fréquentations observées constituent la série d'origine, alors que les trois valeurs calculées constituent sa version lissée.
Limites et pièges
Extrémités incomplètes. Une moyenne centrée d'ordre 3 exige un voisin de chaque côté. Le premier et le dernier terme n'ont donc pas de résultat. Il faut conserver ces cases comme manquantes ou annoncer une autre convention, sans inventer de données.
Ordre pair. Avec 12 valeurs, le milieu tombe entre deux dates. Attribuer directement le résultat à un mois ferait croire à un centrage qui n'existe pas. Il faut préciser le décalage retenu ou effectuer un centrage supplémentaire.
Fenêtre trop large. Un ordre élevé rend la courbe plus régulière, mais peut effacer une évolution locale pertinente. Si un changement visible dans la série brute disparaît après lissage, il faut comparer plusieurs ordres et garder les données d'origine.
Lissage pris pour une mesure. Les 190 visiteurs du jour 3 dans l'exemple ne sont pas une fréquentation observée : c'est la moyenne des jours 2 à 4. Pour décrire un jour précis, il faut revenir à la valeur brute, ici 150 visiteurs.
Pour aller plus loin
Moyenne arithmétique — Revoir le calcul élémentaire répété dans chaque fenêtre de la moyenne mobile.
Série chronologique — Situer les observations datées qui servent de support au lissage.
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