Witt Johan de

Entre 1625 et 1672, Johan de Witt mène une double activité dans les Provinces-Unies. Il dirige cette république pendant vingt ans, mais consacre aussi des travaux aux mathématiques.

Deux sujets résument ce versant moins connu. Il étudie la manière d'obtenir des coniques avec un pantographe et cherche à évaluer des rentes versées durant la vie de leur bénéficiaire. Son portrait relie ainsi géométrie, mécanique du tracé et calcul financier.

Johan de Witt (1625-1672) est un homme d'État hollandais et un mathématicien. Il est principalement connu pour avoir dirigé la république des Provinces-Unies pendant vingt ans. Sa place dans une encyclopédie mathématique tient à deux domaines distincts : la génération mécanique des coniques et l'évaluation des rentes viagères.

En géométrie, une conique est une courbe telle qu'une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Le pantographe est un mécanisme articulé qui transmet le mouvement d'un point à un autre. L'intérêt attribué à de Witt porte sur l'association des deux : employer ce mécanisme pour engendrer des courbes coniques.

En calcul financier, une rente viagère est une suite de versements conditionnés par la survie du bénéficiaire. Son évaluation met donc en relation le montant et la date des versements avec les probabilités de survie correspondantes ; un calcul complet peut aussi tenir compte de l'actualisation. Cette seconde direction annonce le type de problèmes traité par l'actuariat, sans réduire l'activité mathématique de de Witt à ce seul domaine.

Prenons un modèle pédagogique de rente, sans prétendre reproduire un calcul historique de Johan de Witt. Les données sont les suivantes :
• deux versements annuels de 100 unités monétaires ;
• une probabilité de survie de 0,8 au premier versement ;
• une probabilité de survie de 0,6 au second ;
• aucune actualisation, afin d'isoler l'effet de la survie.

1. Le premier versement vaut 100 si la personne est en vie à la première date, et 0 sinon. Sa valeur moyenne dans ce modèle est donc 100 × 0,8, soit 80 unités monétaires.

2. Le second versement suit la même règle avec la probabilité 0,6. Sa valeur moyenne est 100 × 0,6, soit 60 unités monétaires.

3. La valeur totale, notée V, est la somme des deux valeurs moyennes.

Le résultat est 140 unités monétaires. Le contrôle consiste à vérifier séparément les deux produits, 80 et 60, puis leur somme. Une évaluation réelle exige des probabilités adaptées à chaque échéance et, si nécessaire, un taux d'actualisation.

Pour lire le parcours de Johan de Witt, on sépare d'abord ses deux rôles. Le critère est l'objet étudié : le gouvernement des Provinces-Unies relève de l'homme d'État ; les coniques et les rentes viagères relèvent du mathématicien.

Pour aborder son travail géométrique, on observe la relation entre un mécanisme et la courbe obtenue. Un tracé libre convient à une esquisse ; le pantographe devient pertinent quand le mouvement transmis fait partie de la génération étudiée.

Pour évaluer une rente viagère, on ne se contente pas d'additionner les versements annoncés. On pondère chaque versement par la possibilité qu'il soit effectivement dû, puis on actualise si les dates et le taux du problème l'exigent.

Le pantographe et la conique. Le critère est la nature de l'objet : le pantographe est le mécanisme de tracé, tandis que la conique est la courbe obtenue. Une ellipse mathématique est une conique, mais son approximation graphique tracée à main levée n'est pas engendrée par un pantographe.

Rente viagère et versements certains. Une rente viagère dépend de la survie du bénéficiaire. Si deux versements de 100 sont dus dans tous les cas, leur total non actualisé est 200 ; dans l'exemple guidé, leur valeur moyenne est 140 parce que chaque paiement est conditionnel.

Transformer un intérêt en invention. La source affirme que de Witt s'est intéressé aux coniques, au pantographe et aux rentes viagères. Elle ne lui attribue l'invention d'aucun de ces objets ; il faut donc conserver cette formulation mesurée.

Donner de fausses bornes aux vingt années. Les dates 1625 et 1672 sont celles de sa vie, non les limites déclarées de son gouvernement. La source indique une durée de vingt ans sans préciser ici ses dates de début et de fin.

Prendre le modèle simplifié pour une évaluation complète. Le symptôme est de retenir 140 sans examiner les hypothèses. Ce résultat vaut seulement pour deux paiements de 100, les probabilités 0,8 et 0,6, et une actualisation nulle ; d'autres données donnent une autre valeur.

La fiche conique précise la famille de courbes étudiée dans le versant géométrique des travaux de Johan de Witt.

Le pantographe présente le mécanisme articulé associé, dans la source, à la génération de ces courbes.

La table de mortalité prolonge le rôle des probabilités de survie dans l'évaluation des paiements viagers.

La table d'expérience montre comment des données observées servent au calcul des rentes viagères dans un cadre actuariel.