théorème de Gauss-Lucas

Placez dans le plan les racines d'un polynôme complexe, puis tendez un élastique autour d'elles. La région entourée est leur enveloppe convexe : elle contient aussi tous les segments reliant deux de ses points.

Le théorème de Gauss-Lucas affirme que les racines de la dérivée ne peuvent pas sortir de cette région. Elles peuvent se trouver sur son bord ou à l'intérieur. Ainsi, la position des racines du polynôme contraint géométriquement les points où sa dérivée s'annule.

Le théorème de Gauss-Lucas est un résultat de géométrie des polynômes complexes. On considère un polynôme non constant P à coefficients complexes. Ses zéros sont les nombres complexes α tels que P(α) = 0. Dans le plan complexe, leur enveloppe convexe est le plus petit ensemble convexe qui les contient.

La conclusion porte sur chaque zéro ζ de la dérivée P' : le point ζ appartient à cette enveloppe convexe. Une racine multiple de P peut également être un zéro de P', mais le résultat couvre aussi les zéros de P' qui ne sont pas des zéros de P.

Le théorème donne une inclusion, pas la position exacte des zéros de P'. Il ne dit pas non plus que toute la région convexe est remplie de zéros de la dérivée. Conjecturé et exploité par Gauss en 1836, il a été démontré par Félix Lucas en 1874.

Soit P un polynôme non constant à coefficients complexes. Si ζ est un zéro de sa dérivée P', alors ζ appartient à l'enveloppe convexe des zéros de P.

Dans le plan complexe, cela signifie qu'aucun zéro de P' ne se situe strictement à l'extérieur du plus petit ensemble convexe contenant toutes les racines de P.

Le résultat s'applique à un polynôme P non constant dont les coefficients sont complexes. Il faut connaître l'ensemble de ses zéros pour former leur enveloppe convexe, puis chercher les zéros de la dérivée P'. La conclusion obtenue est une localisation : chacun de ces derniers appartient à cette enveloppe.

Un polynôme constant est un contre-cas au cadre de l'énoncé. Sa dérivée est le polynôme nul, tandis qu'il ne fournit pas l'ensemble de racines fini auquel le théorème compare normalement les zéros de P'. Il faut alors traiter directement ce cas constant, sans invoquer Gauss-Lucas.

Considérons le polynôme P défini par $P(z)=z(z-3)(z-3i)P(z)=z(z-3)(z-3i)$. Ses trois racines sont 0, 3 et 3i. Leur enveloppe convexe est le triangle dont ces trois points sont les sommets.

1. Développons le produit, puis dérivons : $P(z)=z^3-3(1+i)z^2+9izP(z)=z^3-3(1+i)z^2+9iz$, donc $P^{\mathrm{\prime }}(z)=3z^2-6(1+i)z+9iP\text{'}(z)=3z^2-6(1+i)z+9i$.

2. Après division par 3, l'équation P'(z) = 0 devient $z^2-2(1+i)z+3i=0z^2-2(1+i)z+3i=0$. Son discriminant vaut −4i, dont une racine carrée est √2(1 − i).

3. Les deux solutions sont $z_1=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+i(1-\frac{1}{\sqrt{2}})z\_1=1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}+i\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)$ et $z_2=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+i(1+\frac{1}{\sqrt{2}})z\_2=1-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}+i\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)$.

4. Pour chaque solution, les parties réelle et imaginaire sont positives et leur somme vaut 2. Or le triangle est décrit par Re(z) ≥ 0, Im(z) ≥ 0 et Re(z) + Im(z) ≤ 3. Les deux zéros de P' sont donc bien à l'intérieur.

Le tracé du triangle et des deux points permet de contrôler visuellement cette inclusion sans remplacer le calcul exact.

Pour contrôler un calcul de dérivée, on place d'abord les racines connues de P et leur enveloppe convexe. Si une solution annoncée de P' tombe strictement à l'extérieur, le calcul contient nécessairement une erreur. Une résolution directe reste nécessaire pour obtenir sa position exacte.

Pour borner une recherche de zéros de P', le théorème réduit la zone à examiner. Lorsque les racines de P sont toutes sur un même segment, on cherche celles de P' sur ce segment plutôt que dans tout le plan complexe.

Pour lire une configuration, on choisit l'enveloppe convexe plutôt qu'un disque approximatif dès que la forme du nuage de racines apporte une borne plus précise. Un disque peut être plus simple à tracer, mais il perd généralement de l'information géométrique.

Félix Lucas et Édouard Lucas. Le théorème est attribué à Félix Lucas, qui l'a démontré en 1874. Il ne s'agit pas d'Édouard Lucas, autre mathématicien français. Le prénom associé au résultat tranche immédiatement la confusion.

Zéros de P et zéros de P'. Les premiers définissent la région convexe ; les seconds sont les points que le théorème localise. Dans l'exemple, 0, 3 et 3i sont les zéros de P, tandis que les deux points de parties réelle et imaginaire positives sont ceux de P'.

Inclusion, pas égalité. Le symptôme du piège est de considérer chaque point de l'enveloppe convexe comme un zéro de P'. Il faut seulement vérifier que les zéros effectivement calculés n'en sortent pas.

Degré 1. Si P est affine et non constant, P' est une constante non nulle et ne possède aucun zéro. La conclusion reste vraie, mais elle est vide ; il n'y a aucun point critique à placer.

Racine multiple. Une racine multiple de P est aussi un zéro de P'. La voir sur le bord de l'enveloppe n'est donc pas une contradiction. Il faut conserver les multiplicités lors du calcul, puis appliquer l'inclusion à tous les zéros obtenus.

Racines alignées. Lorsque tous les zéros de P sont sur une même droite, leur enveloppe convexe se réduit au segment reliant les deux extrêmes. Il ne faut pas remplacer ce segment par une région plane plus large.

Concept de convexité — Approfondir la propriété géométrique qui définit l'enveloppe contenant les racines.

Théorème fondamental de l'algèbre — Relier l'existence des racines complexes à leur localisation par Gauss-Lucas.