théorème de Green-Tao

Écrivons 5, 11, 17, 23 et 29. Tous ces nombres sont premiers et, d’un terme au suivant, on ajoute toujours 6. Ils forment donc une progression arithmétique de cinq nombres premiers.

Le théorème de Green-Tao affirme que ce phénomène ne s’arrête à aucune longueur fixée. Si l’on demande six, cent ou davantage de nombres premiers régulièrement espacés, une telle suite finie existe quelque part. Le théorème garantit son existence sans indiquer directement où la trouver.

Le théorème de Green-Tao est un résultat de théorie des nombres sur la présence de motifs additifs parmi les nombres premiers. Une progression arithmétique finie est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs reste constante. Cette différence constante s’appelle la raison.

On fixe un entier positif nommé k, qui désigne la longueur souhaitée. Le premier terme est noté a et la raison positive est notée d. Les termes, indexés par l’entier j allant de 0 à k − 1, s’écrivent $p_j=a+jdp\_j=a+jd$. Le théorème affirme qu’il existe des valeurs de a et de d pour lesquelles chacun de ces k termes est premier.

La longueur k est choisie avant la progression, mais le premier terme et la raison peuvent dépendre de ce choix. Le résultat concerne des progressions finies aussi longues que désiré, et non une unique progression infinie de nombres premiers. Démontré en 2004 par Ben Joseph Green et Terence Tao, le théorème garantit dans son énoncé l’existence de la progression sans donner les valeurs de a et de d.

Si k est un entier positif fixé, alors il existe un premier terme a et une raison entière positive d tels que les k nombres régulièrement espacés soient tous premiers.

Les quantificateurs expriment l’ordre logique essentiel : on choisit d’abord la longueur k, puis l’existence d’un premier terme a et d’une raison d est garantie.

Le domaine est celui des entiers premiers. Il faut fixer une longueur k entière et positive, puis chercher une suite finie de k termes. La différence entre chaque paire de termes consécutifs doit être le même entier positif d, et chaque terme doit être premier. Le théorème fournit une existence ; il ne fixe à l’avance ni a ni d.

La liste 5, 11, 17, 24, 29 ne convient pas : 24 n’est pas premier et les écarts ne restent pas tous égaux à 6. Dans un cas concret, il faut donc contrôler séparément la primalité de chaque terme et la constance des différences. Si l’un de ces tests échoue, la liste n’est pas une progression arithmétique de nombres premiers.

On veut vérifier une progression de longueur 5. Les données proposées sont les cinq entiers 5, 11, 17, 23 et 29, dans cet ordre.

1. On teste les cinq termes : 5, 11, 17, 23 et 29 sont premiers.

2. On calcule les écarts successifs : 11 − 5 = 6, 17 − 11 = 6, 23 − 17 = 6 et 29 − 23 = 6.

3. Tous les écarts valent 6 : la raison est donc d = 6. Avec le premier terme a = 5, le dernier terme vaut bien 5 + (5 − 1) × 6 = 29.

La suite est ainsi une progression arithmétique de cinq nombres premiers. Le contrôle est refaisable en deux temps : vérifier la primalité des cinq valeurs, puis soustraire chaque terme du suivant. Cet exemple illustre le théorème pour k = 5 ; il ne constitue pas la preuve du résultat pour toute longueur.

Face à une liste d’entiers, on vérifie d’abord que tous les écarts successifs sont égaux, puis que chaque terme est premier. Si les écarts varient, la liste n’est pas une progression arithmétique ; si tous ses termes sont premiers, il s’agit alors d’une simple liste de nombres premiers.

Pour une longueur imposée, le théorème autorise à chercher une progression avec la certitude qu’il en existe une. Il ne donne toutefois pas les valeurs à essayer : une recherche explicite reste une tâche distincte.

Dans un raisonnement, le résultat sert à conclure à l’existence de motifs additifs arbitrairement longs parmi les nombres premiers. Si l’objectif exige un exemple précis ou une borne sur sa taille, l’énoncé seul ne suffit pas et il faut une méthode constructive ou une estimation supplémentaire.

Avec une suite de nombres premiers consécutifs. Dans une progression arithmétique, ce sont les valeurs qui sont séparées par un même écart. Ainsi, 5, 11, 17, 23, 29 ont une raison égale à 6, même si d’autres nombres premiers existent entre certains termes.

Avec le théorème des nombres premiers. Le théorème de Green-Tao porte sur des progressions finies de nombres premiers. Le théorème des nombres premiers étudie leur répartition globale ; le critère qui tranche est donc motif régulier fini contre comportement d’ensemble.

Existence ne signifie pas construction. La démonstration garantit une progression pour chaque longueur fixée, mais n’en fournit pas explicitement la construction. Pour exhiber des termes, il faut mener une recherche distincte.

La raison n’est pas imposée. Le théorème ne dit pas qu’une progression existe pour toute valeur choisie de d ni pour tout premier terme choisi. Si a ou d est fixé d’avance, la conclusion générale ne s’applique plus telle quelle.

Arbitrairement longue ne signifie pas infinie. Pour chaque entier fini k, une progression de longueur k existe, mais a et d peuvent changer avec k. Il serait donc erroné d’en déduire une progression arithmétique infinie composée uniquement de nombres premiers.

Les petites longueurs ne montrent pas toute la portée du résultat. Le cas k = 1 demande seulement un nombre premier. L’enjeu est l’absence de borne supérieure sur les longueurs finies possibles, pas l’existence d’un exemple isolé.

Nombre premier — Revoir la propriété que chacun des termes d’une progression de Green-Tao doit satisfaire.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Situer le théorème des nombres premiers, qui décrit une autre facette de leur répartition.