Quand le rayon du cercle est un entier
À chaque triplet pythagoricien (a, b, c) peut être associé un triangle rectangle T. Son cercle inscrit possède un rayon qui est lui aussi un nombre entier. Par exemple, au triplet (3, 4, 5) est associé le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, dont le cercle inscrit est de rayon r = 1. La valeur du diamètre r cherché est en fait donnée par la formule 2r = a + b – c si c désigne l'hypoténuse, avec a impair et PGCD(a, b) = 1.
Ce joli résultat semble peu connu. On le trouve pourtant explicitement, proposé en exercice par Dominique Roux. Il se démontre très bien par la caractérisation arithmétique des triplets pythagoriciens (voir ci-contre). Vous pouvez également vous amuser à retrouver le résultat de manière purement géométrique, en considérant un découpage astucieux de la figure faisant apparaître plusieurs triangles rectangles semblables !
