Tous les triangles sont isocèles !

Eh oui, vous avez bien lu, tous les triangles sont isocèles ! D’ailleurs, ils sont même tous équilatéraux, en y réfléchissant bien… Pourquoi nous cache-t-on ce résultat durant toute notre scolarité alors qu’il simplifierait bien des exercices ? On ne peut cependant pas accepter une telle affirmation sans une démonstration. La voici.
Il n’y a rien de méchant dans le raisonnement. Appelons D le point d’intersection de la médiatrice de [AB] et de la bissectrice de l’angle. \raisebox{10pt}{\widehat{\mathrm{C}}.} Notons F et G les points de [AC] et [BC] tels que les triangles CDF et CDG soient rectangles en F et en G. Comme D est sur la bissectrice de C^\widehat{\mathrm{C}} les angles GCD^\widehat{\mathrm{GCD}} et DCF^\widehat{\mathrm{DCF}} sont égaux et il en est donc de même pour les angles GDC^\widehat{\mathrm{GDC}} et CDF^\widehat{\mathrm{CDF}}. Finalement, les triangles rectangles CDF et CDG ont les mêmes angles et la même hypoténuse, donc CG = CF. Poursuivons : on a aussi DF = DG, de la même manière. Or, DA = DB car D est sur la médiatrice de [AB]. En considérant les triangles rectangles DFA et DGB, on en déduit que GB = FA. Le plus dur est fait ! Comme CG = CF et GB = FA, on a CB = CG + GB = CF + FA = CA. Le triangle ABC est donc bien isocèle en C. Le même raisonnement s’applique en A ou en B : ABC est équilatéral ! Où est l’arnaque ? Essayez de faire la figure par vous-même et regardez où se trouve le point d’intersection de la médiatrice d’un côté et de la bissectrice de l’angle opposé…

La récurrence malhonnête