Tutti i triangoli sono isosceli! ----------------------------------
Ebbene sì, avete letto bene: tutti i triangoli sono isosceli! Anzi, a ben pensarci, sono tutti equilateri… Perché ci nascondono questo risultato per tutto il percorso scolastico, quando semplificherebbe tanti esercizi? Non si può però accettare un’affermazione simile senza una dimostrazione. Eccola.
Non c’è nulla di malizioso nel ragionamento. Chiamiamo D il punto d’intersezione dell’asse del segmento [AB] e della bisettrice dell’angolo. \raisebox{10pt}{\widehat\mathrm{C}.} "\"\" Siano F e G i punti di [AC] e [BC] tali che i triangoli CDF e CDG siano rettangoli rispettivamente in F e in G. Poiché D si trova sulla bisettrice di \widehat\mathrm{C} "\widehat\mathrm{C}", gli angoli \widehat\mathrm{GCD} "\widehat{GCD}" e \widehat\mathrm{DCF} "\widehat\mathrm{DCF}" sono uguali, e lo stesso vale per gli angoli \widehat\mathrm{GDC} "\widehat\mathrm{DCF}" e \widehat\mathrm{CDF} "\widehat\mathrm{CDF}". Infine, i triangoli rettangoli CDF e CDG hanno gli stessi angoli e la stessa ipotenusa, dunque CG = CF. Proseguiamo: analogamente si ha anche DF = DG. Ora, DA = DB poiché D si trova sull’asse del segmento [AB]. Considerando i triangoli rettangoli DFA e DGB, se ne deduce che GB = FA. Il più è fatto! Poiché CG = CF e GB = FA, si ha CB = CG + GB = CF + FA = CA. Il triangolo ABC è dunque isoscele in C. Lo stesso ragionamento si applica in A o in B: ABC è equilatero! Dov’è l’inganno? Provate a tracciare la figura e osservate dove si trova il punto d’intersezione dell’asse di un lato e della bisettrice dell’angolo opposto…
L’induzione disonesta ------------------------