¡Todos los triángulos son isósceles! ----------------------------------
Pues sí, lo han leído bien: ¡todos los triángulos son isósceles! Es más, si lo pensamos bien, todos son incluso equiláteros… ¿Por qué nos han ocultado este resultado durante toda nuestra escolarización, cuando simplificaría tantos ejercicios? Sin embargo, no podemos aceptar tal afirmación sin una demostración. Aquí la tienen.
El razonamiento no tiene nada de malicioso. Llamemos D al punto de intersección de la mediatriz de [AB] y la bisectriz del ángulo. \raisebox{10pt}{\widehat\mathrm{C}.} "\"\" Denotemos por F y G los puntos de [AC] y [BC] tales que los triángulos CDF y CDG sean rectángulos en F y G. Como D está en la bisectriz de \widehat\mathrm{C} "\widehat\mathrm{C}" los ángulos \widehat\mathrm{GCD} "\widehat{GCD}" y \widehat\mathrm{DCF} "\widehat\mathrm{DCF}" son iguales, y lo mismo ocurre, por tanto, con los ángulos \widehat\mathrm{GDC} "\widehat\mathrm{DCF}" y \widehat\mathrm{CDF} "\widehat\mathrm{CDF}". Finalmente, los triángulos rectángulos CDF y CDG tienen los mismos ángulos y la misma hipotenusa; por tanto, CG = CF. Sigamos: del mismo modo, también tenemos DF = DG. Ahora bien, DA = DB porque D está en la mediatriz de [AB]. Al considerar los triángulos rectángulos DFA y DGB, deducimos que GB = FA. ¡Lo más difícil está hecho! Como CG = CF y GB = FA, tenemos CB = CG + GB = CF + FA = CA. Así pues, el triángulo ABC es efectivamente isósceles en C. El mismo razonamiento se aplica en A o en B: ¡ABC es equilátero! ¿Dónde está la trampa? Intenten trazar la figura por su cuenta y observen dónde se encuentra el punto de intersección de la mediatriz de un lado y la bisectriz del ángulo opuesto…
La inducción tramposa ------------------------